IL
6 MÉCANIQUE RÀTlOMlfELLE.
On trouve
7. Déterminer le centre de grauité de Paire comprise entre une branche entière de cjcloïde et sa base.
Si Ton prend la tangente au sommet pour axe des jr, et l'axe de la courbe pour axe des Xy que Ton nomme a le rayon du cercle générateur et o) Tangle dont tourne le cercle quand il décrit l'arc compris entre Torigiue et le point 3cj^ la courbe est représentée par les équations
X=: fl(l — cosu), jr = fl(» + sinuj; cl Ton trouve
%, Déterminer le centre de gravité de l'aire comprise entre une ellipse et Vun de ses diamètres.
Si Ion prend le diamètre donné pour axe des y^ le diamètre conjugué pour axe des jt, et qu'on représente par 2a la longueur de ce second diamètre, on trouve
GuLDiiTy Ccntrobaryca^ lib. I, cap. ix, p. ii5.
9. Déterminer le centre de gra\filé d^une boucle de la lemniscate de Jacques Bernoulli,
La courbe étant représentée par Téquation
SECTION II
SURFACES PLAKES QUELCONQUES.
Les coordonnées x, y du centre de gravité d'une surface plane quelconque sont données en coordonnées rectilignes par les formules
--^Sffdxdy^ - SJydxdy
^ SJdxdy ' ^ ~ SJdxdy *
Et si Ton emploie les coordonnées polaires r et d dont le pôle est à l'origine, et dont Tangle se compte à partir de Taxe des x, on a en coordonnées rectangulaires
*~ ffrd^dr ' -^"^ SJrd^dr
Les limites des intégrales sont toujours celles du corps.
i . Déterminer le centre de gratuité du secteur elliptique compris entre deux demi^dîamètres conjugués aetb.
Prenons poiu* axes coordonnés les deux diamètres conjugués dont il 8*agit^ alors Tellipse est représentée par Téquation
et, par conséquent,
/ xdxdy, - / x^à^ — x^dx
I I dxdy - / \la^^a?dx
3ir'
- X Ua^ — X* 4- fl* arc sin - 1 — a*
MÉCANIQUE mATIONKIBLLE.
r r rfxûfr 7^^* 7^^^^
2. Déterminer le centre de grav^ité du segment ellip^ tique compris entre la courbe et une corde qui joint les extrémités de deux diamètres conjugués.
Conservons la notation du problème prëcédenti et posons de plus
nous aurons
'^£l>" "ïr[t--':'*-i-'>l'"
En vertu de la symétrie de la figure par rapport aux deux axes, on a nécessairement
3 ir — 2
3. Trouifer le centre de gratuité d'un secteur parabolique compris entre la courbe et deux rayons vecteurs menés du foyer.
Soient a, |3 les angles que forment avec Taxe de la pa-
8TÀTIQVB.
rabole les deux rayons vecteurs dont il s*aglt, et
2 CCS» -
Téquation de la parabole en coordonnées polaires, dont l'origine est au foyer et dont les angles Q se comptent à partir de l'axe.
On a
Or
^ I — tanc»-0
r/0 =r séc« - OrfO
cos* - iH- lang* -
= ( 1 — lang* - j séc* - £/9;
par conséquent,
I /'tangi^/ j V ^
/>Ung;/3/ , V ,
/ ( I -h lanc» - Ô |r/ taog -
Jungia V ^ 2 ; ^2
^^l(tong»ip-tang»i«)~(tangip-tangi«) i ^lang* i p ~ ung» i a j -h ^tang ^ p - tang i a j
rdOdr o
lO MAcAHIQUE RATIOAHBIXE*
Or Tiatégrale duDiiinërateur etX égale à
/^a . * . / rf.cos-6
f cos* - / cos* -
par conséquent,
i ^ung» i p - ung" i « j H- ^ttng i p - tong i «^
4. Trou\fer le centre de gravité de l'aire comprise entre une branche d^ hyperbole ^ V asymptote corresponddante et deux ordonnées parallèles à Vautre asymp^ tote.
Soient
xy:
Téquation de la courbe rapportée à ses deux asymptotes, et x\ x" les abscisses correspondantes aux ordonnées extrêmes.
On trouve
log x" — log x' ' -^ "* 8 x^x' loRx'' — logx'
8. Trouver le centre de gravité de Faire comprise entre la parabole a'"~*j' = a:", l'axe des x et deux ordonnées.
Si Ton représente par x' et x'' les abscisses correspon-
dantes aux ordonnées exirèmes, on troure
Cabbé, Mesure des surfaeefj p. 80.
6. Trouver le centre de gravité de Vaire comprise entre un arc de la sinusoïde y = sin x et Vaxe des x.
Si Ton considère Tare limité à l'origine et à Tabscisse tt, on trouve
— ir - ir
7. Trouver le centre de gravité de l'aire comprise entre la droite jr = ^x etla parabole y* = 2px.
On obtient
SECTION III
SOLIDES DE EÉTOLUTION.
Considérons le solide engendré par la révolution d'une surface plane autour d'une droite tracée dans son plan et que nous prendrons pour axe des x. Le centre de gravité de ce solide est situé sur l'axe de révolution, et si Ton représente par ^, y les ordonnées rectangulaires du contour de Taire génératrice qui correspondent à une même abscisse, la position de ce centre de gravité est fixée par la formule
Quand on emploie des coordonnées polaires, savoir un
13 MÉCANIQUE RATIOHMBLLE.
rayon r mené de Torigine et un angle compté à partir de l'axe des jc, on a
- __ Jfr^ sin C08 </ô dr *~ JJ'r^smOdBdr
Les intégrales s'étendent à toute Taire génératrice.
