Trouver le centre de grai^ité d'un segment de sphère
Soient a le rayon de la sphère^ c la distance de la base du segment au centre de la sphère, et prenons ce centre pour origine des coordonnées.
Nous avons
4 3 {n-hcy
Lucas Valemus, De centra gravitatis solidorunii lib. II, prop. 33, et lib. III, prop. 3i«
2. Déterminer le centre de gravité du solide engendré par la révolution d'un secteur de cercle autour de Vun de ses rayons extrêmes.
Soient a le rayon du cercle cl ^ Tangle du secteur.
Prenons le centre de cercle pour origine des coordonnées; alors
/ 1 r*sln9ros0//0r/r t «M -sinîOc^Q
- •/o Jo 4 Jo ^
r r r'sinôrfOrfr \^ \ *'"^''®
= 5 a (i 4- cosp) = 7 a cos» - ?. o 4- ^
ifl'(l-COSp)
Wallis, Oy«ni, t. I, p. 728.
STATIQUE. l3
3. Déterminer le centre de gras^ité du solide engendré par la résolution de Vaire comprise entre une parabole^ son axe et une ordonnée perpendiculaire y autour de la tangente au sommet.
Soient
Tëquation de la parabole, b l'ordonnée extrême et a Tabscisse correspondante.
On a
sj:ip — r = — \/2pa z=z — b.
Ce problème est an cas particulier d*un problème plus général résolu par Carré, Mesure des surfaces, p. pS.
4. Déterminer le centre de grav^ité d^une tranche de paraboloïde de révolution.
Soient a, b les rayons des deux bases et h leur distance. La distance du centre de gravité à la petite base, dont le rayon est a, est donnée par la formule
- h a' H- ib^
5. Déterminer le centre de grainté de la portion d^hjrperboloïde qui est engendrée par la révolution de Vhj^ perbole
l4 XÉCàiriQTJE BàTIOHHBLLB.
autour de Vaxe des x, et qui est comprise entre les deux plans x= o, x=:c.
On trouve
- 8acH-3r»
CaeeiL, Mesure des surfaces, p- 97-
6. Déterminer le centre de gratuité d^un solide en^ gendre par l'aire comprise entre une parabole^ son axe et une ordonnée perpendiculaire, quand Vaùe tourne autour de cette ordonnée.
Si Ton représente l'ordonnée extrême par b^ on troaTe
que la distance du centre de gravité à Taxe est égale ^ -7 &.
Carei^ , Mesure des surfaces, p. 90.
7. Déterminer le centre de grauité de la partie d'un hjrperboloïde à une nappe de ré%*olution qui est cornprise entre deux plans perpendiculaires à Vaxe, dont Vun passe au centre et Vautre à V extrémité de Vaxe imaginaire.
Soient a& Taxe imaginaire de Thyperbole génératrice, et X la distance du centre de gravité au centre de ]a courbe. Ou a
CAftESy Mesure des surfaces^ P* 97*
8. Déterminer le centre de gravité du solide terminé à la surface qu engendrent les deux paraboles
>> = ^px, jri=ziip'{a^ x)
en tournant autour de Vaxe des x.
On trouve
X irz —
STATIQUE. l5
SECTION IV
SOLIDES QUELCOITQUES.
Soient X, y^ z les coordonnées rectangulaires ou obliques d'un point pris dans l'intérieur du solide considéré,
et X, j^ z les coordonnées du centre de gravité de ce corps.
On a les formules
-r^SSSf^àxdydz - ^ fffydxdxdz - JJJzdxdydx, "" SSJdxdjdz ' ■^- SSJdxdjdz ' ~ SSJdxdydz '
OÙ les intégrales s'étendeht au corps entier.
