SURFACES QUELCONQUES

Soient x^y^ z les coordonnées d'un point quelconque sur la surface considérée, et

dz dz

Les coordonnées x^y^z du centre de gravité seront données par les formules

- __ JJx sji-^p^ -Tt» dx dy JS^ I 4- />' -+- (p dxdy -^SJ yh^P^^H'dxdx ^

Sls/i-^p^-^q^ dxdy Z^ff zsli-^p'-^q^dxdx ^ ff^l -f-/?' -f- q^dxdf

a6 MéCAMQUE mATIOirNBI.LE.

où les intégrales s'étendent à toute la surface dont il s'agit.

1. Considérons la surface enveloppe d'une sphère de rayon constant, et dont le centre décrit une courbe plane. Si Ton prend le plan de là courbe directrice pour plan des xj^ et que l'on représente cette courbe par Téquation

Téquation de la sphère mobile sera

on en déduit, par différentiations ,

X — JC, H- /?« =r O , J^— ç(jp,) -h^î =0,

et si l'on élimine x^ ei(f[xx) entre ces trois dernières équations, il vient

par conséquent l'ordonnée du centre de gravité de la demi-surface enveloppe située au-dessus du plan des o^ est

Dans cette expression, le dénominateur représente l'aire de la surface enveloppe, et le numérateur représente la projection de cette aire sur le plan des xy\ d'où il suit que la distance du centre de grauilé de la surface au plan de la courbe directrice est une quatrième proportionnelle à l'aire de la surface ^ à Vaire de sa projection sur le plan de la directrice et au rayon de la sphère. Cette relation subsiste évidemment lorsque la surface enveloppe se réduit à celle de la sphère.

2. Soient S l'aire d'une figure tracée à volonté sur la surface d'une sphère dont le rayon est r ;

S. la projection de cette aire sur un plan diamétral ;

z la distance de ce plan au centre de gravite de la surface S;

d^ Télément de cette surface ,

ei a Tangle que le rayon mené du centre à cet élément fait avec la normale au plan.

z = rcosa et ycosai/S=:S,;

par conséquent

Ainsi nous pouvons énoncer la proposition suivante, qui permettra dans bien des cas de déterminer aisément le centre de gravité d'une figure sphérique :

Soient OX, OY, OZ trois droites quelconques menées par le centre d^une sphère dont le rayon est r*^ S l'aire d'une figure tracée à volonté sur la surface de la sphère; Sx* S^, S, les projections de cette aire sur les plans YOZ,

ZOX, XOY, etXyjy z les distances des mêmes plans au centre de gratuité de la surface S .

On a

je X z r

Og Oj- Dz S

Appliquons ce théorème à la détermination du centre de gravité d'un triangle spliérique.

Nommons A, B, C les angles du triangle, «, J, c les

a8 MÉCANIQUE RJkTIOnXELLE.

côtes opposés, et faisons coïncider les droites OX, OY, OZ avec les rayons OA, OB, OC. Nous avons

S = ^ (A -f- B -h C — i8o); loo

d'ailleurs la projection de cette surface sur le plan BOC a pour valeur

aire BOC — aîreCOA . cosC — aire AOB . cosB

T- — r- (a — ^cosC — ccosB) ; 3bo ^

par conséquent

- I a — 6cosC — rcosB ^'^â'' A-f-B-f-C— i8o '

et de même,

- 1 b — ccosA — «cosC

I c — n cosB — b cos A ^^ ô/ A -hB-hC — i8o '

3. Considérons la surface engendrée par la révolution de la chaînette

autour de Taxe des «, et concevons que celte surface se déplace de manière que, son axe restant toujours veriical, son sommet décrive une courbe dans un plan parallèle à celui des xy\ il en résultera une surface enveloppe dont nous nous proposons d étudier le centre de gravité. Soient

Ji = ?(*•)

Téquation de la courbe décrite par le sommet de la sur-

STATIQUE. ag

les dérivt tives à la surface enveloppe, et

face gëuératrice, /;, q les dérivées pariicllcs ~> — rcla-

Rz=V^(x-~rÔM-[r~ç(4r.)ï- L'équation de la surface mobile est

on en Uro

^--K i— ' ^^— ïï 1— '

et si Ton élimine Xt et o(Xi) entre ces trois dernières équations, il vient

De là résulte une propriété curieuse de celte surface enveloppe. En effet, traçons sur cette surface un contour quelconque^ et soit z l'ordonnée du centre de gravité de la portion de surface limitée par ce contour, ou aura

- ffzda^dr JJzdxdy

D'un autre côté, si Ton ropréseute par z l'ordonnée du centre de gravité du solide cylindrique, qui est renferme entre le plan des xy^ les ordonnées du contour cl la surface enveloppe, on aura

-"'J/ïdldr"'

3o MÉCANIQUE RÀTIOUKELLE.

les intégrales ont ici les mêmes limites que dans Texpression de z ^ par conséquent

Ce que nous venons de dire subsiste évidemment lorsque la surface enveloppe se réduit à Tune des surfaces enve*^ loppées.

C'est au professeur Giulio, de Turin, que nous devons les théorèmes exposés dans les n^' 1 , 2, et 3 [voir le Journal de Mathématiques de M. Liouvîlle, t. IV, p. 386).

4. Soient OX, OY, OZ trois axes quelconques menés par le centre d'une splière dont le rayon est r;

S raire d^ une figure tracée à volonté sur la surface de cette sphère ^

S, , S^ , S, les projections de cette aire parallèles aux axes sur les plans YOZ, ZOX, XOY5

OX', OY', OZ' de nouveaux axes respectii^ement per* pendiculaires à ces plans i

x' y y\ z' les coordonnées du centre de grai^ité de la surface S par rapport à ces derniers axes.

On a

fl — Zl — ^--''

dx *^r ^2 ^

ScHBLLBAGH, Joumul dc M. CrellCi t. XLV; i853.

La démonstration de M. Schellbach est assez compliquée ; toutefois le théorème est susceptible d'une démonstration simple.

Nommons ^S un élément de la surface, x\ y\ z' ses coordonnées par rapport aux seconds axes, a l'angle que le rayon mené à cet élément fait avec la normale OX au plan Y'OZ', et fl l'angle des droites OX, OX'.

On a

Or la perpendiculaire abaissée de rélément dS sur le plan Y'OZ' est égale à rcosa, et, puisque la droite OX' fait un angle 9 avec cette perpendiculaire ,

, rcosa cosô ^ d'où

/bosa ,^ z </S cose

Projetons Félément ^S sur le plan YOZ parallèlement à la droite OX. Les lignes projetantes font un angle 6 avec la normale OX' au plan de projection, et elles font un angle a avec le rayon qui aboutit à Félément projeté. Or, quand on projette une aire plane P sur un autre plan, si Ton nomme a l'angle que les lignes projetantes font avec la normale au plan de l'aire projetée et 6 Fangle qu'elles forment avec la normale au plan de projection, la projection de Taire est égale à

rosa ^

rP.

cos9

De là il résulte que nous avons

cos|e et, par conséquent,

Considérons, par exemple, la surface d'un triangle sphérique ABC dont les côtés sont a, £, c.

3 a MÉCANIQUE nATIOKMELLE.

Si nous faisons coïncider les droites 0X> OY, OZ avec les rayons OA, OB, OC, nous aurons

On peut remarquer que les deux trlèdres OXYZ, OX'Y'Z' étant supplémentaires l'un de l'autre, on a également, en faisant usage de notations symétriques pour les deux systèmes d*axes,