DES POLYÈDRES

Lorsque des forces parallèles en nombre quelconque sollicitent les différents points d'un système solide, elles peuvent, en général, se réduire à une résultante unique dont la direction passe toujours par un même point du système, quelle que soit leur direction. Ce point unique est le centre des forces parallèles.

Soient P Tune quelconque des forces parallèles, x^jj z les coordonnées de son point d'application, x, y^ z celles du centre des forces parallèles, R la résultante et £ un signe sommatoire qui s'étend à toutes les forces considérées.

On a

R = 2P, -=-^, ^=1?-' ^=iF-

Ces formules ont été données pour la première fois par Varignon dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris pour l'année 1714. Elles cessent d'être applicables lorsque 2P = o ^ car alors les forces parallèles ne peuvent se réduire à une résultante unique, elles se composent en un couple.

1 . Aux sommets d* un triangle rigide sont appliquées trois forces parallèles y et proportionnelles aux côtés op^ posés. Déterminer le centre des forces parallèles.

Soient a, &, c les côtés, Â, B, C les sommets opposés, fia, libj [JLC les forces qui leur sont appliquées^ prenons AB pour axe des x, AC pour axe des y.

Il vient

— b .ue bc — —

xz=z • = , et r = jr.

Si l'on nomme r la longueur de la perpendiculaire

abaissée du centre des forces parallèles sur le côté AB,

on a

- ^ cbcosk surface du tnaii(;le

r = r cos A = 7 = 2 -r-. — ; 2—»

tf -f- fi -h c périmètre

c'est la longueur du rayon du cercle inscrit au triangle ABC. Le centre des forces parallèles coïncide donc avec le centre du cercle inscrit.

Il est facile d'arriver sans calcul a la même conclusion. En effet, on aura la résultante des trois forces en composant d'abord entre elles les forces fx& et fzc, puis la résultante partielle obtenue avec la force i^a ; or, cette résultante partielle a son point d'application au point qui divise le côté BC en parties proportionnelles aux côtés adjacents. Ce point appartient à la bissectrice de l'angle A9 donc la résultante totale des trois forces fza, |ui&, [uc a son point d'application sur la bissectrice de l'angle A. Ce point

est par la même raison sur la bissectrice de Tangle B ; il s^ensuit qu il coïncide avec le centre du cercle inscrit.

2. Démontrer que le centre de la sphère inscrite à un tétraèdre est aussi le centre commun de grax^ité de quatre masses proportionnelles aux aires des faces du tétraèdre et placées respectivement aux sommets opposés.

Jnnales de Gergonne^ t. XVII, p. 33 1 ; 1827.

Cette proposition se démontre comme celle qui fait Tobjet du numéro précédent.

Soient ABCD le tétraèdre, «, i, c, d les aires des faces opposées aux sommets de même nom.

Les forces ^& et fxc, appliquées aux sommets B et C, donnent une résultante appliquée au point qui divise Varôte BC en segments proportionnels aux faces c et &

de Taugle dièdre opposé BADC.

Or, ce point, nous allons le voir, appartient au plan bissecteur du dièdre BÂDC. S'il en est ainsi, la résultante totale, que Ton obtiendra en composant la résultante partielle déjà obtenue avec les forces fza et pirf, aura évidemment son point d^application sur le plan bissecteur du dièdre BADC. Ce point doit se trouver par la même raison sur les plans bissecteurs des autres dièdres; donc il coïncide avec le centre de la sphère inscrite.

Il reste à prouver que le plan bissecteur de Tangle dièdre BADC partage Tarète opposée BC en deux segments BI et CI, proportionnels aux faces adjacentes BAD et CAD de Tangle dièdre.

Pour cela, considérons le tétraèdre en projection sur an plan BD'C mené par le sommet B perpendiculairement à l'arête AD. Soient C la projection de C, D'IMa trace du plan bissecteur sur le plan de projection. Celte trace partage BC^ au point I' en deux segments proportionnels à BD' et C D'. Ce même plan bissecteur coupe le

plan projetant de BC suivant une droite l'I parallèle

RI un' k ce II s'ensuit que r- = -7—, -, mais BD' est la hauteur

du triangle BAD, et CD' est égal h la hauteur du triangle de même base CAD; donc

' BI tr. BAD ÇI"^ ir. CAD*

3. u4ux tmis sommets B, C, D d'un tétraèdre ABCD sont appliquées trois forces parallèles P, Q, R. Déterminer la distance de leur centre au sommet A.

Soient r cette distance et AB = £, AC = c, AD = d. On a

r»(P H- Q -f- R)»=r P»^» -^ Q»c» -h R»rf^ -+- sPQôrcos (BAC)

-4- 2QRc^co5(CAD) -+• 2RPrf^co8(DAB).

4. A trois points fixes, qui ont pour coordonnées a y i; a\ h'\ a" y V, sont appliquées trois forces parallèles /?, p', p" 5 les deux premières forces sont constantes, et la troisième variable. Déterminer le lieu du centre des forces parallèles.

Ce lieu est la droite représentée par l'équation

[ap + a'p') 6" + [(«" - a)p + [a" - a')p-]x ' = [bp -t- b'p') a" + [(A" — b)p-\-[b''— b')p']x.

5. n forces parallèles et constantes sont appliquées à n points; n — \ de ces points restent fixes, pendant que

38 MÊCAiriQUB RÀTIOKirELLB.

le dernier décrit une courbe. Montrer que le centre des forces parallèles décrit une courbe semblable et sembla-' blement placée»

Considérons en particulier deux corps dont Tun reste fixe, tandis que le centre de gravité de l'autre décrit un cercle d'un mouvement uniforme.

Soient P le poids du corps fixe, G son centre de gravité, P' et G' le poids et le centre de gravité du corps mobile, a la disUnce du point fixe G au centre O du cercle décrit par G'.

Le centre de gravité G de Tensemble des deux corps décrit d'un mouvement uniforme un cercle dont le centre O' est sur la droite GQ, à une distance du premier point

P' égale à p-j7p7 «•

Supposons que le corps P soit une forte aiguille, et P' un petit poids qui tourne dans un plan vertical par YeSet d'un mouvement d'horlogerie fixé à Taiguille. Si nous suspendons le système par un axe horizontal passant au point O', le centre de gravité G devra se trouver constamment au-dessous de ce point sur la même verticale; et, par suite, l'aiguille tournera autour de O' d'un mouvement uniforme. Elle pourra marquer les heures.

Cette petite machine a été construite : on la nomme Vhorloge magique, parce que l'aiguille revient d'ellemême sur l'heure quand on l'en a écartée.

6. Les centres de grav^ité de l'aire et du contour d*un polygone circonscrit à une circonférence sont toujours situés sur une droite qui passe par le centre de cette cir^ conférence^ leurs distances au centre de la circonférence inscrite sont entre elles dans le rapport de 2 à 3.

En effet, décomposons le polygone en triangles ayant leur sommet commun au centre du cercle inscrit* Pla-

çons ensuite aux trois sommets de chaque triangle des masses sphëriques égales, ayant leurs centres aux sommets et proportionnelles aux aires des triangles, c'est-à-dire à leurs bases. Le centre de gravité du contour sera celui des poids placés aux sommets du polygone. Admettons que tous ces poids soient réunis en une seule masse à leur centre de gravité. Alors le centre de gravité de Taire s'obtiendra en composant cette masse avec celle qui se trouve au centre du cercle et qui est moitié moindre -, il sera donc situé sur la droite qui réunit le centre du cercle au centre de gravité du contour, et sa distance au premier point sera double de sa distance au second, ce qui démontre le théorème.

Cette proposition a lieu pour un triangle quelconque ; elle s'appliquerait aussi à un polygone gauche dont les côtés seraient tangents, à une sphère. Seulement il faudrait, dans ce cas, remplacer Taire polygonale par la somme des aires triangulaires qui ont leur sommet commun au centre de la sphère et qui ont pour bases les côtés du polygone circonscrit.

Brassine, Journal àe M. Liouville, t. VIII; i843.

7. Le centre de graifité d'un polyèdre circonscrit à une sphère est situé sur la droite gui joint le centre de gratuité de la surface de ce polyèdre avec le centre de la sphère inscrite.

Les distances du centre de grai^ité du polyèdre et du centre de gravité de sa surface au centre de la sphère inscrite sont entre elles dans le rapport, de 3^4-

Ces propositions sont vraies pour une pyramide triangulaire quelconque. Elles se démontrent comme celles qui précèdent, seulement les triangles sont remplacés par des pyramides triangulaires ayant leur sommet commua au centre de la sphère inscrite.

4o MÉCAKIQUB RATION»ELLE.

Ce mode de démonstration s'applique avec avantage à la plupart des propositions connues sur les centres de gravité des polygones et des polyèdres.

BftASsnrE, Journal de M. Liouville, t. VIII; i843.

8. Démontrer que si trois hommes soutiennent par les trois sommets une plaque triangulaire, homogène et d'égale épaisseur, chacun d'eux porte im poids égal.

9. Quatre hommes ont à porter une plaque triangulaire, homogène et d'égale épaisseur. Deux d 'entre eux la prennent chacun par un sommet. A quels points du bord doii^ent la saisir Ifis deux autres, afin que le poids soit également réparti entre les quatre porteurs ?

On démontre aisément que les points cherchés sont situés sur les côlés qui aboutissent au sommet libre, à une dislance de celui-ci égale au tiers du côté.

10. Trois honjmes ont à transporter une plaque homogène, d'égale épaisseur, formant un parallélo» gramme. L'un d^eux saisit la plaque par un sommet. On demande à quels points du contour les deux autres porteurs doix^ent la saisir^ afin que le poids soit égale» ment réparti entre eux tous.

Ils doivent prendre la plaque au milieu des côtés du parallélogramme non adjacents au premier sommet.

H, Les côtés d*un triangle ABC sont divisés en seg» ments proportionnels par les points D, E, F ; c'est-à-dire

que Von a