Démontrer la proposition suivante
«Si Von admet que l'attraction de la matière ne dépend p. g (jue de la distance j la seule loi
d^ attraction , suivant laquelle une couche sphérique homo" gène n'exerce aucune action sur un point intérieur^ est celle de l'attraction en raison inverse du carré de la distance; mais si Von suppose que V attraction dépend à la fois de la distance et du rayon de la couche sphérique, il est une infinité de lois diaprés lesquelles la couche n'exerce aucune action sur le point intérieur.
Soient r le rayon intérieur de la couche;
dr Tépaisseur infiniment petite de cette couche;
a la distance d'un élément E de cette couche au point atûré M;
c la distance du centre O au point M;
Tangle que le rayon OE fait avec la direction OM;
(f Tangle que la droite ME fait avec la même direction;
et /* (u, r) l'attraction de Tunité de volume située sur la couche à la distance u du point attiré.
La direction de Tattraction résultante coïncide évidemment avec la droite MO, et la valeur de cette résultante est
Or on
R=: 2îr rVr 1 cosf sin 0/(119 r)</9.
u sinO e sîn(O-hç)^
r siDf r smf
diflérentiant ces équations par rapport à k, c et cf, il
58 MÉGAiriQllB EATIOaiIBLLB.
vient
du
et si l'on observe que
car r est une constante, on verra aisément que l'attraction résultante peut se mettre sous la forme
K=z2itr'dr^ j [sin^ j/[u,r)du\dB.
Nous pouvons exprimer la variable 9 en fonction de la variable u : ces variables sont unies parla relation
«'nrc'-h/-' — 2crcosO; d'où
sind</0 := —dum cr
Posons, pour abréger, (0 J/{u,r)du = ¥(ii,r),
(a) fuV(n,r)dtt=zF(n,r),
et observons qu'aux limites 6=0, 9 = ir correspondent les limites u=>r — c, uzzzr-^c^ alors il vient
(3) K:=a.rdr.±[?:^^:±^l±^P^^=^].
Pour que l'attraction R soit nulle, il faut que la quantité
soit indépendante de c; nous pourrons donc poser
F{r -h c, r) — F (r — <?, r) = Cf (r),
STATIQUB. 59
<f (r) éunt une quantité indépendante de c. On en conclut, par une double différentiation relative à c,
Maintenant, il nous faut distinguer deux hypothèses. Admettons d'abord que la loi deTattraction soit indépendante du rayon delà couche; alors /*(u,r) se réduit à f(u)j et Téquation précédente devient
Ici r et c sont quelconques ; il en est de même de leur somme r-f- c et de leur dilFérence r — c; d'ailleurs
par conséquent, la dérivée seconde F" (u) est indépendante de Uj et la dérivée troisième /^"' (u) est nulle. Or, d'après Téquation (a), on a
F'(ii) = «F(ii),
(5) F^{u) = F{u)-hur{u),
et, si Ton a égard à Téquation (1),
Ainsi la fonction /(a), qui représente la loi de l'attraction, doit vérifier l'équation
«/'(«) + a/(ii) = o,
u'/' {u) -h !XU/{U) — O,
laquelle donne, par intégration,
u^/{u) — - coost = A,
c'est la loi de la nature.
6o MÉCAiriQUB RÂTIOBHELLE.
7. Passons k la secoDde hypothèse, où Ton suppose que la loi de rattraction dépend du rayon de la couche.
Dans Téquation (4)9 le rayon r ne peut être considéré comme une quantité arbitraire*, par conséquent, on ne peut se donner a volonté qu'une seule des quantités r -f- c, r — c. Nous prendrons
r-hc=r«, d'où r — cmar — «.
Alors Téquation (4) nous donne
F: («, '•)- ^,'r-u(a'-- «, r) =Z o, ou, d'après la formule (5), jointe à Téquation (i), F(a,r)-hii/(tt,r) — F(2r— «,r) — (2r— tf)/(2r— «,r)=o. Différentions par rapport à u, il vient
2/(«,'-) -♦- «/u («* O -+- 2/(2r — Uy r)
Cette équation nous montre que la fonction /(a, r) est assujettie à cette seule condition, que la quantité
change de signe et non de valeur, lorsque l'on y change u en 2r — u; cela revient à dire que la quantité dont il s'agit est l'ordonnée correspondante à l'abscisse u, dans une courbe qui a pour centre le point de l'axe des abscisses correspondant à u = r.
Soit
l'ordonnée d'une courbe qui jouit de cette propriété. On pourra poser
2 «/(a, r) H- u^/l («, r) = lef (a, r) ; alors
STÂTIQtE. 6l
représentera une loi d'attraction pour laquelle une couche sphérique de rayon r n'exercera aucune attraction sur un point intérieur.
Prenons, par exemple,
a désignant une constante.
Nous aurons
La première partie du théorème qui précède est de Laplace (Mécanique céleste^ liv. II, cbap. ii) ; la seconde partie, relative a une loi d'attraction qui dépend du rayon de la couche, a été remarquée pat* M. Bertrand dans son Cours au Collège de France.
8. Trouy^er toutes les lois d^ attraction qui ne dé^ pendent que de la distance, et suivant lesquelles une couche sphérique homogène attire un point extérieur comme si elle était tout entière condensée en son centre.
Si nous conservons la notation du théorème précédent; l'équation (3) de ce théorème nous donne, dans le cas actuel,
