r,rdr--- — — — :^^nr^ cir/{c

d'où l'on tire

/'(f -t- r) — /'(c — r) — 2rc I /{c)dc -{- Cff(r),

(f (r) étant une quantité indépendante de c.

Dans cette dernière équation, les dérivées secondes du premier membre par rapport à c et par rapport h r sont évidemment égales^ nous pouvons donc égaler euirc elles

6a MÉCANIQUE EATIOHUELLB

les dérivées secondes du deuxième membre; il vient alors

c de 2r dr^

Le premier membre de cette équalîon est indépendant de r, le second est indépendant de c^ il faut donc que chacun des deux membres soit une constante : nous nommerons celte constante 3 A ; en sorte que

a/(c) df(c)

c de

Intégrons, et nommons B une nouvelle constante; il viendra, en remplaçant c par m,

Telle est la forme des lois d^attraction suivant lesquelles une concbe sphérique attire un point extérieur comme si elle était condensée en son centre. On voit que, parmi les lois d^attraction qui jouissent de cette propriété, la loi de la nature est la seule d'après laquelle Tattraction soit peu considérable à de grandes distances.

Làplace, Mécanique céleste^ liv. II, chap. n«

9. Vnjiltrès-mince AOB, soutenu par ses deux extré^ mités y porte par V intermédiaire d'un anneau O un poids préciséfnent égal à la plus grande tension que le fil puisse supporter sans se rompre. On demande quelle est la limite que l'angle AOB ne peut dépasser quand on ouvre de plus en plus cet angle en écartant les extrémités du fil. On négligera le poids du fil et celui de l'anneau.

' Il est aisé de reconnaître que le fil se brisera dès que Tangle AOB dépassera lao degrés; car la tension du fil atteint sa limite quand le triangle formé par des parai-

lèles aux troifl forces qui sollicitent le point O devient équilatéral.

iO. Un poids P est maintenu en équilibre sur un

FÎ6.7 . plan incliné BA par V action

p de trois forces égales à -^ et

dirigées j Vune en sens contraire de la pesanteur^ Vautre dans la direction AB, 2a troisième suisfant V horizontale AC. Quelle est V inclinaison du plan BA sur V horizon ?

Cette inclinaison est égale à 2 arc tang-*

W. Deux Jorces données F, F', respectiv^ement pa-rallèles à la base et à la longueur d^un plan incliné, sollicitent alternative ement une même molécule pesante posée sur ce plan. Quel doit être le poids P de cette mO" lécule pour quelle reste en repos ?

On trouve

12. Deux poids P et Q sont unis par un fil PCQ e/igagé sur une poulie C ; le poids Q pend librement^ le poids P s^ appuie sur un plan qui fait auec l'horizon un angle connu a, et tout le système est en équilibre. Déterminer l'angle que le fil CP forme av^ec le plan incliné et la pression que le point P exerce sur ce plan.

Si l'on nomme R la pression et Tangle cherché^ on trouve

Psina

: arc cos — — — j

R=z PcosoE

64 MÉGASIQUE RATIOmiBLLE.

13. On courbe un tube très-étrok suwant une para^ bole dont l'axe est dirigé verticalement de bas en haut, et dans l 'intérieur de ce tube on place un point matériel qui peut glisser librement. On suppose que ce point est sollicité à la fois par la pesanteur et par une force répulsisfe émanée de l'axe de la parabole, proportionnelle à la distance de cet axe, Troui^er les conditions de V équilibre du point.

Soit jx rintensité de la force émanée de l'axe lorsqu'elle s'exerce à l'unité de distance.

Si le paramètre de la parabole est égal à -» le point placé où l'on voudra dans le tube y restera en équilibre ; si le paramètre est différent de -9 l'équilibre est impossible.

\ 4. JJn triangle isocèle est formé par trois lignes matérielles et homogènes^ qui sont douées d'un pouvoir attractif en raison inverse du carré delà distance. Un point matériel est placé en un point donné de la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base^ et reste en équilibre sous V action des forces émanées des côtés. Déterminer l'angle au sommet.

Soient a eib les distances du point matériel au sommet et à la base.

L'angle au sommet est égal à aarcsin ( t ) '

15. Deux droites matérielles et homogènes AB, AC se coupent à angle droit, et attirent inversement au cairé de la distance un point matériel situé au pied de la perpendiculaire AP abaissée de A sur BC. Déterminer la grandeur et la direction de la force nécessaire pour maintenir en équilibre le point attiré.

Soient

BC=a, CA = *, AB = c,

m la masse répartie sur l'uuité de longueur dans les droites matérielles, et [i Tattraction de l'unité de masse à Funité de distance.

La force cherchée est égale à ^^j^^^ et fait un angle de 43 degrés avec chacune des deux droites AB, ÂC .

16. Un triangle ABC est formé par trois droites ma" tèrielleSy homogènes et de densités différentes, qui atti" rent en raison inverse du carré de la distance. Déterminer les conditions d* équilibre d*un point matériel placé dans l' intérieur du triangle.

Soient X, jx, v les densités des côtés BC, CA, AB, et Pj 47, r les distances du point matériel à ces mêmes côtés. Les conditions d^équilibre sont

Lorsque les côtés des triangles sont de même densité, le point matériel doit être placé au centre du cercle inscrit.

Si du point attiré, comme centre, on construit un cercle tangent à la droite qui l'attire et de même nature, puis que l'on trace deux rayons quelconques, le segment de la droite et Tare du cercle qui sont compris entre les deux rayons exercent sur le centre des attractions égales (*),

En cfTet, supposons que les deux rayons soient infiniment voisins. Us forment sur Télément du cercle et sur celui de la droite qu'ils intcrccpteut deux triangles de même hauteur : ces deux triangles sont donc entre eux

(*) Ce tbcorôme se trouve dans la Dynamique de Earnsliaw.

I, 2® ÊDIT. 5

66 MÉCANIQUE batiobuelle.

comme leurs bases. Si nous proavons que les mêmes triangles sont entre eux comme les carres des distances de leurs bases infiniment petites au centre du cercle, il sera démontré que les éléments du cercle et de la droite corn* pris entre les deux mêmes rayons ont des longueurs on des masses proportionnelles aux carrés de leurs distances au point attiré, et par suite qu'ils exercent sur ce point des attractions égales. Soient A et B nos deux triangles. On peut remplacer Tun d'eux A par un triangle A' sem* blable au triangle B, sans altérer les grands côtés et la surface des triangles, si ce n'est de quantités infiniment petites par rapport à ces quantités elles-mêmes. Or les triangles A' et B étant entre eux comme les carrés de leurs grands côtés, il en sera de même à la limite pour les triangles A et B; et à la limite Tun quelconque des grands côtés peut être pris pour la distance de la base au centre du cercle.

On verra de même que, si Ton suppose l'attraction en raison inverse du cube de la distance, un cône intercepte sur une sphère qui a son centre au sommet, et sur un plan tangent de même épaisseur et de même matière, deux surfaces qui attirent également un point matériel placé au sommet.

D'après cela, lorsqu'un point matériel est placé dans rintérieur d'un tétraèdre, dont les quatre faces sont des plans homogènes de même épaisseur et qui attirent en raison inverse du cube de la distance, les conditions d'é* quilibre du point sont exprimées par les relations

dans lesquelles p, 9, r, s représentent les distances du point attiré aux faces du tétraèdre, et X, [i, v, p les densités de ces faces.

17. Toute zone sphérique, considérée comme maté" rielle et homogène^ telle que le plan de Vun des cercles de base soit à égale distance du pôle et du plan de la seconde base^ attirera le pôle ayec une force égale à

p est la densité, ^ est ratlractioq de ruuité de masse à runilé de distance.

18. Démontrer que V attraction dUine demi-sphère homogène sur le centre est égale à celle de la sphère entière sur un point de sa sur/ace.

SECTION IL

ÉQUILIBEE AVEC FROTTEMBHT.

Dans la Mécanique rationnelle, on considère ordinairement les corps solides comme tout à fait incompressibles et terminés par des surfaces parfaitement unies. Aussi, quand il s'agit d'un corps pesant qui repose pai* une face plane sur un plan borizontal fixe, on admet que toute force horizontale appliquée sur ce corps lui communique un mouvement, quelque petite que soit cette force. Dans la réalité, il n'en est pas ainsi : la force appliquée doit dépasser une certaine limite pour produire le mouvement^ car les corps de la nature sont plus ou moins coinpressibles, et toujours terminés par des sar-^ faces qui présentent une multitude de petites aspérités* U faut donc admettre que, dans le cas d'unie force trop faible pour produire le mouvement^ la réaction du plan sur la surface en contaet ne se compose pas uniquement d'mie ibrce normale à la surface, mais aussi d'une force tangeotielle égale et contraire à la foi*ce appliquée. Cette réaction tangentielle est le fivttement.

68 MÉCANIQUE AATIONMELLE.

Ce qu'il importe surtout de connaître, c'est la limite que la force de frottement ne peut pas dépasser dans des circonstances données; l'expérience seule peut déterminer cette limite. Voici les résultats auxquels elle a conduit.

Considérons généralement deux corps en contact, l'un d'eux étant fixe. Nommons R la pression normale qui s'exerce entre les deux surfaces, et F la plus grande force que l'on puisse appliquer à l'un des deux corps sur sa surface de contact, et parallèlement à cette surface, sans lui communiquer de mouvement. La force F, que l'on nomme frottement au départ, est proportionnelle, pour deux substances données, à l'étendue des surfaces en contact et à la pression partielle qui s'exerce sur une étendue déterminée de ces surfaces, si l'on suppose que la pression totale est également répartie sur tous les points de contact. On énonce ordinairement cette loi de la manière suivante :

Pour deux substances données, le frottement au dé^ part est proportionnel à la pression normale, et quand la pj-ession est la même, il est indépendant de l'étendue des surfaces en contact.

Il en résulte que^ si Ton pose

la quantité |x sera constante pour deux mêmes substances, quelles que soient la pression et l'étendue des surfaces en contact. Celte constante /x est nommée coefficient de frottement.

Lorsqu'un corps pesant est lancé le long d'un plan liorizontal sur lequel il s'appuie par une face plane, on observe que la vitesse imprimée s'épuise peu à peu; tandis qu'elle devrait rester constamment la ménfie, si la réac-

' STATIQUE. 6p

lion du plan était tout entière normale. II faut donc admettre que la surface en conlact éprouve une réaction tangentielle, lors même que le mouvement est élabli. Cette réaction est le froUàment dynamiqucy ainsi nommé pour le distinguer du frottement au repos ou frottement statique. Ces deux frçtiements se nomment encore frottements de glissement ou frottements de première espèce^ pour les distinguer du ^of terne ti/ de tvulement ou frottement de seconde espèce^ dont nous parlerons plus tard (*).

Généralement, lorsque deux corps animés de vitesses différentes glissent l'un sur l'autre, le frottement dynamique est mesuré par une force égale et contraire à la force qu'il faudrait appliquer h Yun des corps sur sa surface de contact et en sens contraire de sa vitesse relative à la seconde surface, pour maintenir le mouvement relatif tel qu'il se continuerait si les deux corps n'exerçaient Tun contre Tautre qu'une simple réaction normale. On voit que le frottement dynamique est une force tangenlielle qui tend à égaliser les vitesses des points en contact.

Le frottement dynamique est soumis aux mêmes lois que le frottement statique au départ^ de plus, il est in^ dépendant de la vitesse relativ^e des surfaces en contact, au moins dans les cas ordinaires de la pratique. Le coefficient de frottement dynamique est toujours sensiblement inférieur à celui de frottement statique entre les mêmes surfaces.

C'est en vertu de celte dernière loi qu'un corps pesant, d'abord en repos sur un plan dont l'inclinaison est peu inférieure à celle qui ne permettrait plus à l'équilibre de subsister, commence à descendre pour ne plus

( *) Darnamique^ citap. TU, lect. it.