JO MÉCANIQUE BAT105VELI.C
s'arrêter, dès que Ton produit dans le sysièoid tm léger ébranlement.
D'après ce que nous avons dit, la composante tangentielle de la réaction totale est égale à fiR lorsque le mouvement relatif est sur le point de naître et aussi lorsque le mouvement est établi, pourvu que dans ce cas on entende par fi le coefficient de frottement dynamique. Il en résulte que Tangle de la réaction totale avec la perpendiculaire à la surface de contact a pour tangente le coefficient fi. Cet angle, arctang jx, se nomme angle de frotte-' ment. Il est aisé de voir que dans le cas où jut représente le coefficient de frottement au départ entre un plan et un corps pesant, le corps glissera sur le plan en vertu de son poids, toutes les fois que Tinclinaison du plan sur Thorison sera supérieure i l'angle arctang/i, et restera en repos quand Tinclinaison sera moindre.
Les lois du frottement statique ont été découvertes par Âmon tons (^). Camus (') et Désaguliers (*) ont remarqué les premiers que le frottement dynamique est plus petit que le frottement au départ. L'exactitude de ces lois fut longtemps contestée^ par suite de l'imperfection des méthodes expérimentales. Les expériences de Muschenbroek (*), de l'abbé NoUet (»), de Coulomb {•) et de Ximénès C) laissaient encore des doutes; les belles expériences de M. Arthur Morin (') les ont dissipés* Aujourd'hui ces lois sont universellement adoptées.
(* ) Uémoires de V Académie des Sciences de Paris ; iGgg, p. 206. {* ) Traité detjorees mouvantes, {•) Cours de Physique.
(*) tnirod. ad Phit, nat,, t. I, cap. ix ; 1769. — LeeL Phys, ex/»fr., ;. I, p. 241.
(*) Leçons de Phr*. 'xpér,i 1. 1, p. aSo) 1754.
(*) Savants étrangers ( Acad. des Sciences de Paris), t. X, p. 1 63 ; 1785. (') Teoria e pratiea délie restst, de' sol, ne' loro attriii; Pisa, 1783. ( * ) Savants étrangers'^ Académie des Sciences de Paris \ t. IV % tÛS.
STÀTIQtIB. 71
Les résultats suivants donneront une idée de la difTérence qui existe entre les deux coefBcients de frottement pour les mêmes substances. Le premier nombre se rapporte au frottement statique, le second au frottement dynamique :
Fer sur fonte, sans enduit^ I* = I o
1. Deux points pesants P, P' s'appuient sur rleux Fig. 8. plans inclinés et dépolis AC,
M AC, et sont réunis par un Jil
A^ \ infiniment délié POP', qui s*en-
/ 4 \ g^g^ *w w^ poulie O située
^^^^^^^)F verticalement au-dessus du
^^^"^ N^' sommet commun des deux
plans. Quelle est la position des points P et P', lorsque le premier est sur le point de glisser dans la direclion AC?
Soient a, a' les inclinaisons sur la verticale des plans AC, AC'5 e et 6' celles des portions du fil OP et OP'; T la tension du fil ; P et P' les poids des points désignés par les mêmes lettres*, (a et /ul' les coefficients de frottement sur les deux plans AC et AC'^ R et RMes réactions normales de ces mêmes plans.
Projetons les forces qui sollicitent le point P, d*abord suivant une parallèle à CA, puis suivant une perpendiculaire* Il vient
[aR -f- Tcos( a — $ ) = Pcosa, R -h Tsin (s — 0) =: Psioft.
T^ MÉCAWIQUB RàTlOUJSELLE.
Sî l'on opère de la même manière relativement au point P', en observant que le froltemeut est dirigé suivant AC, on trouve
f*'R' -f- P'cos'a' = Tcos(a' — G'), R'-f-Tsin(a'-0') = P'sma'.
Entre les deux premières équations on élimine R, et entre les deux dernières on élimine R', puis entre les deux résultats on élimine T, et il vient
P'(co5a' 4- pt'sina') [cos{a — 0) - ^sin(a - 0)]
=:P(cosa — f*sin«)[cos(a'— 0') -hpi'sin(a' — Ô')];
^ ou, si Ton pose pt = lang e, ^ = lang e',
P'cosfa' — ff')cos{a— 0-|-s)=iz:PcO5{a-|-f)cO5(a'— 0' — £').
D'ailleurs, la distance OA et la longueur du cordon étant nommées h et a, la Géométrie donne
/isina Asina'
sin(a — ôj sin(a'-- 0')
Cette équation, jointe à la précédente, détermine les angles fl, 6' et, par suite, la position des points P, P'.
2. TJn point pesant est posé sur un plan parfaitement poli et incliné à P horizon d'un angle oc. On applique à ce point une force donnée P, et Von demande V angle z^ que cette force doit faire avec le plan pour maintenir le point en équilibre. On ne connaît pas le poids du point, mais si Von suppose entre le point matériel et le plan un coefficient de frottement égal à tang y, on connaît la demi-somme S et la demi- différence D du plus grand angle ê' et du plus petit angle i que la force P peut faire avec le plan sans déplacer le point.
Considérons le plan dépoli dont le coefficient de fret-
tement est taDgf ; nommons R sa réaction normale et Q le poids du corps; supposons d'abord que la iforce P fasse avec le plan Tangle e.
Projetant les forces d'abord sur une parallèle au plan, puis sur une perpendiculaire, on obtient
Pcosf = R tangf -H Qsina, Psine 4- R = Qcosa.
Si Ton élimine R entre ces deux équations, il viait
sînfaH-<p)
ces (e — ç)
Quand la force P fait avec le plan Tanglc t\ le calcul est le même, si ce n'est que q> change de signe ; on a donc
Ces deux dernières équations nous font connaître le poids Q en fonction des quantités données, car si Ton ajoute ces deux équations, on trouve, après quelques réductions,
^ cosScos{D -+• ^)
sinacosf
Ceci posé, la condition d'équilibre sur le plan sans frottement est
^ ^ sina
remplaçant Q par sa valeur, il vient
„ cosS ,^ ,
cosr = cosfD H- ©).
COSïp ^ ^'
Telle est Féquation qui détermine Tangle cherché t".
j4 MÉCÀiriQtm RATIOKNELLE.
3. Un point pesant est placé sur une circonférence de cercle située dans un plan ^vertical, et sur laquelle le frottement est égal à la pression. Quelle est la plus basse'des positions ou le point peut rester immobile?
Le rayon qui passe au point cherché fait un angle de 45 degrés avec la verticale*
4. La force nécessaire pour faire monter un corps le long d^un plan incliné est moindre ou plus grande que la force nécessaire à soulager directement le corps ^ sid" uanf que l'angle de frottement est inférieur ou supé-
tieur à j » a étant V inclinaison du plan sur V horizon.
STÀTlQUt. 75
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