ÉQUILIBRE SANS FROTTEMENT
1 . OBA est une barre pesante et homogène qui forme un levier de second genre. Le point d^ appui est à Vextrémité O, la résistance est appliquée au point B, la puissance agit à Vautre extrémité A. Étant donnés le poids Q qui constitue la résistance, son bras de levier OB = i, et le poids p de la barre par V unité de lon^ gueur^ trouver la longueur OA =:a de la barre qui donne le plus d'avantage à la puissance P.
Toutes les conditions d*équilibre se réduisent dans ce cas à Téquation des moments par rapport au point d'appui :
Il en résulte
Le minimum de P peut se déterminer, soit par les dérivées, soit par le procédé algébrique élémentaire. 11 est atteint quand
2. Une tige pesante et homogène appuie son extré-mité injérieure A ^r un plan horizontal ^ et son exlrémiié supérieure B sur un plan vertical perpendiculaire au plan ^vertical qui passe par la tige. Le point C, oàce dernier plan rencontre Vintersection des deux premiers , est lié à uu point connu de la tige, E, par un fil sans poids CE, qui maintient Véquilibrc. Déterminer la ten* sion du fil.
Soient 2a la longueur de la lîge, P son poîds, R et Pi' les réactions du plan vertical et du plan horizontal, a et e les inclinaisons de la tige et du iil sur Tliorizontale AC, T la tension du fil.
Observons que Ton peut toujours remplacer les poids de toutes les molécules d'un corps solide par une force unique, égale au poids total du corps, et appliquée au centre de gravité.
Pour former les équations d'équilibre, projetons toutes les forces qui sollicitent la tige d'abord sur l'horizontale CA, puis sur la verticale CB, et prenons leurs moments
78 MÉCÀBIQIJB BiTIOtfHELLE.
par rapport aii point C. Il vi^nt
R — Tcosf = 0, R' — P — Tsin « = o,
R.2asina -+- P.flcosa— R'.2flcosa = o;
d*où l'on tire, après avoir éliminé R et R', ^ ^ cosa
Xl=P ; .
2 sin (a — • )
Celle formule résout le problème et nous montre que : Si e = a, T est infini, Téquilibre est impossible*, Si 6 >^ ex, T est négatif, l'équilibre est impossible \ Si e <^ a, T est positif, l'équilibre est possible.
3. Une tige pesante et homogène A A'A"B repose par son extrémité inférieure A sur un plan horizontal, presse en A! une chenille fixe située au-dessus du cotjfs, et s^appuie en A." sur une autre cheville Jixe située auF> dessous. Déterminer, dans le cas d'équilibre, les près* sions exercées sur la tige par le plan horizontal et les deux chevilles»
Soient a a la longueur de la tige, P son poids, ot son inclinaison sur le plan borizontal, b la distance des deux chevilles, et R, R', R'' les pressions exercées par le plan, la cheville A' et la cheville A''.
Projetons les forces qui sollicitent la tige sur la direc* lion AB et sur une direction perpendiculaire, puia prenons leurs moments par rapport au point A. Il vient
Psina — Rsina = o, R' H- P ces a — R*' — R cos a — o,
R''.(aX'-+- *) — R'.ÂÂ' — P.flcosa^o;
d'où l'on tire
R=:zP, R'=:R'' = jPco^a.
4. Une tige pesante et homogène AA'B appuie son extrémité inférieure A contre une droite verticale, et re^ pose en A' sur un point ^fixe situé au-dessous du corps . Déterminer les pressions que la tige supporte de la part de la droite et du point lorsque l'équilibre a lieu»
Soient a a la longueur de la tige, P $on poick, ^ ^on inclinaison à l'horizon, c la distance du point fixe à la droite verticale, R et R' les pressions exercées par la droite et par le point.
Si nous projetons successivement les forces qui fiolli** citent la tige, sur la direction AA' et sur une direction perpendiculaire, puis que nous prenions leurs inowents par rapport au point fixe A^ nous obtenons
R cos a — P sîn a = o, R' — E rin a — P cos a = o,
R.Xi? sin a ~ P (a — ÂÂ') cos a.
La dernière équation peut s'écrire
Rcsinct z= P (a cos a — c)c05a.
Cette formule, jointe à la première, donne
cos a:
Par la combinaison des deux premières équations, on
obtient
cos « \c /
La valeur de eos a montre que Téquilibre est impoisiUe lorsque c est plus grand que a.
8o MÉCANIQXJE RÂTIOVirBLLE.
5. Quelle est la force nécessaire pour retenir y dans une position donnée, une porte dont les gonds ne sont point situés sur une même ligne veiticale ?
On connaît le poids P de la porte, la distance a du centre de gravité à la ligne des gonds, Tinclinaison (3 de cette ligne sur la verticale, et Tangle dièdre a compris entre le plan vertical mené par cette même ligne et le plan de la porte.
Nommons f Tinclinaison de la porte sur le plan horizontal.
Le moment du poids de la porte par rapport a la ligne des gonds est P cos cj» . a ; or, dans le trièdre rectangle formé par le plan de la porte, un plan horizontal et le plan vertical mené par la ligne des gonds, on a
cos (p = sin a sin p ;
par conséquent, pour maintenir la porte en équilibre, il faut lui appliquer, à une distance b de la ligne des gonds, une force normale F, telle que
F^^riiPsinasinp.a.
6. Une tige rigide ÂB peut tourner librement autour de son extrémité inférieure A, qui est engagée dans une charnière fixe, tandis que son extrémité supérieure B s* appuie contre une droite ^verticale. Déterminer la pression exercée par la droite, ainsi que les composantes horizontales et verticales de la pression exercée par la charnière.
Soient P le poids de la tige, a sa longueur, b la distance de son extrémité inférieure au centre de gravité, a son inclinaison à Thorizon, R la pression exercée par la droite verticale, H la composante horizontale de la pression exercée par la charnière, et V la composante ver* ticale.
STATIQUE. 8l
Si nous projetons les forces sur rhorizontale, puis sur la veriicale, il vient
et, si nous prenons les moments par rapport à la charnière A y nous obtenons
R.asina = P. 6 ces a; d*où
a tang «
Ce problème fut proposé et mal résolu par Stone; Jean Bernoulli (*) ne le résolut pas mieux, et ce fut Couplet (**) qui donna la première solution correcte. On peut lire rhisloirede ce célèbre problème écrite par Franchini, dans les Mémoires de la Société italienne, t. XVI, i" part., p. aaS-, i8i3.
7. On sait que des forces en nombre quelconque, appliquées à un corps solide, peuvent toujours se réduire à deux forces, et cela d'une infinité de manières. Prouver que, de quelque manière que l'on fasse cette réduction, le tétraèdre construit sur les deux forces ré" sultantes, comme arêtes opposées, a toujours même 'Volume.
Soient A, B deux points pris à volonté dans Vespace, et PQ la droite qui représente en grandeur et en direction une force donnée. Il est aisé de voir que le moment de la force PQ par rapport à Taxe AB est égal, en valeur absolue, à six fois le quotient du tétraèdre ABPQ par la distance AB. Nous représenterons ce moment par 6 ABPQ
(*) 0;»e/ir,t.IV, p. 189.
(**) Mémoires de l'Académie de Paris, p. 695 1731,
