I. «• ÉOIT
83 IftcANlQUE R4TI0N1TELLE.
et nous aurons soin de disposer les lettres du numérateur de mauière qu'uu observateur, dont les pieds sont en A et la tête en B, voie le point P à sa gauche et le point Q à sa droite, lorsque le moment est positif. Nous aurons, par exemple,
g ABPQ g ABQP PQAB AB "~ AB "7 AB *
Ceci posé, nommons PQ etRS un système de deux forces résultantes-, P'Q' ci R'S' un autre système de forces résultantes, et A, B deux points pris à volonté dans Tespace. Les quatre forces PQ, RS, Q'P', S'R' se font équilibre; la somme de leurs moments par rapport à Taxe AB est nulle*, par conséquent, on a
ABPQ -+- ABRS z= ABP'Q' -f- ABR'S'.
Nous pouvons faire coïncider les points A et B successivement avec les points P et Q, R et S, P' et Q', R'et S'; il vient alors
PQRSr= PQP'Q'H-PQR'S',
RSl>Q — RSF Q' -4- RSR'S', P'Q'PQ -4- P'Q'RSrz: P'Q'R'S', R'S'PQ -4- R'S'RS =: R'S'P'Q'.
Ajoutant ces équations, on obtient
PQRSrrrP'Q'R'S',
et cette égalité démontre la proposition.
Ce théorème fut énoncé d'abord par M. Chasles [annales de Gergonney t. XVIII; 1828) : la démonstration qui précède est de Mobius [Journal de M, Crelle, t. IV, p. 179). M. Chasles a démontré plus tard ce théorème, ainsi que plusieurs autres dû môme genre, dan6 le Journal de M. Liouv^illc^ t. XII 5 1847.
STATIQI]E. 83
8. Quand plusieurs forces sollicitent un corps solide libre, on sait qu'on peut les remplacer d'une infinité de manières par un système équivalent de deux ou d'un plus grand nombre de forces. Ces divers systèmes équivalents jouissent de la propriété suivante : la droite, qui joint le centre des moyennes distances des points d'application des forces de chaque système au centre des moyennes distances des extrémités des lignes qui représentent ces forces, est toujours parallèle à un axe fixe, et la longueur de cette droite est en raison inverse du nombre des forces. Ainsi, de quelque manière qu'on réduise à deux forces un nombre quelconque de forces appliquées à divers points liés invariablement, la droite, qui joindra le milieu de la distance des points d'application de ces deux forces avec le milieu de la distance de leurs extrémités, sera toujours égale et parallèle à une droite fixe.
En effet, soient a?, y^ z les coordonnées des points d'application de l'une quelconque des forces ;
x\ y^ z' les coordonnées de l'extrémité de la droite qui représente cette force ;
n le nombre des forces \
X, Y, Z et X', Y', TJ les coordonnées du centre de» moyennes distances des points (x, y^ z) et (x', j\ z') 5
a:i,^i,«n x',iy,»^'i) Xi,Yi,Zi, X'.,Y',,Z', les quantités analogues pour un système de forces équivalent.
On a
KATIONHEIXE.
d'où
Ton tire
Ces trois dernières relations démontrent le théorème. Chaslcs, Bulletin des Sciences, etc., de l' Académie de Bruxelles; i84o, II* part., p. 261. Corrcspon' dance mathématique ; 1 829, p . 1 06- 1 08.
9. Soient PQ et RS les droites qui représentent en grandeur et en direction deux forces données. Nous dirons que le tétraèdre qui a ces deux droites pour arêtes opposées est construit sur les deux forces, et nous conviendrons, dans le théorème qui suit, de prendre ce tétraèdre positivement lorsqu'un observateur^ dont les pieds sont en P et la tète en Q, voit le point R à sa gauche et le point S a sa droite.
Lorsque n forces appliquées à im corps solide se font équilibre, ou peuvent se réduire à une force unique, la
somme algébrique,des -^ tétraèdres, que Von peut
construire sur ces forces prises deux à deux y est nulle ^ dans les autres cas, ou les forces ne peuvent se réduire quà deux résultantes, la somme dont il s'agit est égale au tétraèdre construit sur les deux résultantes.
Démontrer ce théorème.
MoBius, Journal de M. Crellcy t. IV, p. 184.
10. Des forces appliquées à tous les éléments d'une surface fermée quelconque, dirigées suivant la normale et proportionnelles aux surfaces de ces éléments, se font équilibre, pourvu que toutes ces forces agissent à la fois de l'intérieur de la surface à V extérieur, ou inversement.
La démonstration de cette proposition résulte immédiatement d'un théorème que Ton trouvera plus loin, t. n, Complément aux questions de Statique^ Attraction, sect. I, théor. I.
H. Quand on applique à tous les éléments d^une surface fermée quelconque des forces normales propor--
tionnelles au produit ^^(« H — )> <ûfa désignant la
surface de Vêlement auquel la force est appliquée, R et r les rayons de courbure principaux de la surface, toutes ces forces se font équilibre, pourvu quelles soient toutes dirigées de V intérieur à V extérieur, ou inversement.
Prolongeons vers l'extérieur chacune des normales à la surface d'une même quantité très-petite ^5; le lieu de ces extrémités sera une deuxième surface qui aura les mêmes normales que la première. Soient da' Taire de Félément de cette seconde surface, et P un facteur constant.
Un système des forces normales Vdcr appliquées de Tintérieur à Textérieur sur la première surface est eu équilibre, d'après le théorème précédent; il en est de même pour un système de forces normales Vda' appliqué en sens contraire à la deuxième surface, et aussi pour le système résultant V[da' — da) que nous supposerons appliqué à Télément da.
Je vais montrer que la différence da' — da peut se
mettre sous la forme dadsi^-^ — j; alors le jthéorème
sera prouvé.
Prenons pour da un élément rectangulaire ABCD limité par quatre lignes de courbure, et pour da' l'élément A'B'C'D' limité par les prolongements des normales qui entourent dG\ l'élément da' sera pareillement un rectangle compris entre quatre lignes de courbure de la seconde surface.
86 XÉCAHIQ^E RATIONNELLE.
Posons
AB=r:a, AC=:p,
A'B' = a -h rfflt, A'C = p -h dp.
Nous aurons à la limite, pour des éléments inânîment petits,
d<r' — d<r = ^dct -f- «r/p.
Or les normales Â' A et B^B se rencontrent en un point O situé à une distance R du point A et à une distance R-hds du point A', et les triangles semblables OAB, OA'B' nous donnent
a-h da R -f- É&
d'où
ads
de même,
et, par suite,
da' — da =:d<rds ( --: -+- — | • VR rj
J. Bertrand, Mémoire sur Us surfaces isothermes.
On peut démontrer de la même manière que des forces appliquées à tous les éléments d^une courbe plane fermée y dirigées suivant la normale et proportionnelles
à ^9 ds désignant r élément de Parc, et p le rayon de
courbure j se font équilibre.
12. Si Von applique à tous les éléments d*une surface fermée quelconque des forces normales, proportionnelles
à —1 toutes ces forces se font équilibre, pourfu qu'elles
agissent toutes de rintérieur à textirieur, ou inver-
"'îl''notaùon est U même que J.ns le ll.éorème pré-
cèdent.
Nous conadérons les deoï mêmes snrfaces.
D'après ce ihëorème, le système des forces normales
appliquées de V intérieur à l'eitérieor sur les élémenU à9, se font équilibre.
Il en est de même des forces
P'''''(d:7,-^rili)
appliquées en sens contraire aux éléments A a' -, et »i non» composons ensemble ces deux systèmes, le système de» forces résultantes
que nous supposerons appliquées aux éléments da, se pareillement en équilibre. ^««îères force»
Remplaçons dans Vexpression de ces dernières
da' par sa valeur
. Aes infini' D vient à la limite, par l'évanouissement a
ment petits de troisième ordre,
da quantité proportionnelle à — •
Dèslorsletbéorème est démontré. ^^^^ p. ,V« '®^ ' Joo.«T, Joar«aUe M. i'<""""'' *•
88 MÉCANIQIIB EÀTIOIJirELLE.
Il e^t à remarquer que les forces normales proportionnelles à l'élément de surface <^t à — 9 qui se font équilibre
sur une surface, se font encore équilibre sur toute sur* face fermée obtenue en déformant la première, pourvu qu'elles soient toujours normales aux éléments; carc^est un théorème démontré par Gauss [Mémoire sur les sur--
faces)^ que le rapport — n'est point altéré par la déformation de la surface.
13. Une échelle, inclinée de 3o degrés à V horizon, appuie son extrémité inférieure sur un plan horizontal^ et son extrémité supérieure sur un plan incliné de 60 degrés à l'horizon. Ces deux plans sont parfaitement polis j et V échelle peut être assimilée à une barre homo^ gène. Quelle force horizontale faut4l appliquer au pied de V échelle pour V empêcher de glisser?
Soit P le poids de Téchelle.
La force cherchée est égale à -j- P.
14. Une sphère homogène repose sur deux plans inclinés. Déterminer la pression exercée sur chacun de ces plans.
Soient P le poids de la sphère, a, a' les inclinaisons des deux plans sur Thorizon, R, R' les pressions exercées sur ces mêmes plans.
On trouve
sina' sina
sm [a -h A ) sin (a -h a')
LciBifiTZ, Opéra f t. III, p. 176.
15. Une barre homoghie s"* appuie par ses extrémités sur deux plans inclinés. Déterminer la position d^équi-libre et les pressions exercées sur les plans.
Soient P le poids de la barre^ 9 l'angle qu'elle forme ayec Thorizon, a et a' les inclinaisons des deux plans sur l'horizon, R et R' les pressions exercées sur' ces plans; et supposons que l'extrémité inférieure de la barre s'appuie sur le plan auquel se rapportent les quantités a et R.
La barre est perpendiculaire à l'intersection des deux plans, et l'on a
*""*' , sina
sin(a-f-a') sin(a-i-a')
sin(a' — a) Ung0 = ~-^^ r— ;
2sina sma'
16. Une tige pesante et homogène AEB appuie son extrémité inférieure A contre un plan vertical^ repose en E sur un point fixe ^ et porte un poids Q à son extré^ mité supérieure. Déterminer la position d^ équilibre.
Soient P le poids de la tige, a sa longueur, b la distance du point fixe au plan vertical , et x la longueur AE de la partie de la tige qui est située entre le point fixe et le plan vertical.
La tige est dans un plan perpendiculaire au plan vertical dont il s'agit^ et Ton a
FoNT4NA, Memorte délia Società italiana ; 1802, p. 63o.
Si l'on suppose P=:o, alors a:= (rtJ*)% quelle que soit la grandeur du poids Q.
Euler [*) a discuté ce problème comme application du principe de Maupertuis, nommé loi du repos,
{*) Académie de» Sciences de Berlin, t. VII, p. ig6; 1751.
90 MÉCANIQUE EATIONHELLE.
17. Un poids Q est suspendu à r extrémité B d'une tige ADB, dont l'autre extrémité A est engagée dans
Piç g, une cftamièrejixe. Cette tige
est sans poids ^ elle est soutenue par un fil perpendiculaire, attaché en son point milieu D.
