Une barre pesante et homogène AB repose par
Fiç. 10. Vune de ses extrémités A
sur un plan horizontal et
dépoli KL^ Vautre extré^
mité B est soutenue par un
fd qui passe sans frotte^
ment sur une poulie E et
K x^ L supporte un poids Q. /)c-
terminer la suite des positions d'équilibre.
Soient sa la longueur de la barre, P son poids, son inclinaison à Thorizon, R la pression normale que le plan exerce sur rextrëmilé A, F le frollement exercé sur la même extrémité dans la direction LK, fx le coefficient de frottement relatif au plan et à la barre, et cp Tinclinaison du iil BE sur Thorizon.
Projetons les forces qui sollicitent la barre d'abord sur une horizontale, puis sur une verticale^ et prenons leurs moments par rapporta Textrémité A. Il vient
F = Q cosç, R-h Qsin(p=rP,
(A) Pcosô = 2Qsin((p — 0).
Posons
F = R tangf ,
tange sera une quantité comprise entre o et p^ alors la première équation pourra s'écrire
Rtangc = Q cosy,
et, si Ton élimine R à laide de la seconde équation, on . trouve
(B) Psini — Qcos(y — «).
Cette relation, jointe à la formule (A), nous détermine les angles ^ et qui correspondent à une valeur donnée de e. On aura toutes les positions d^ équilibre en donnant à e toutes les valeurs comprises entre o et arc tang|!x. Pour la valeur particulière 6 = 0, Téqualion (6) donne
<y= -; et, d*après Téqualion (A), on a 6 == -> quel que
soit le poids Q, pourvu qu'il soit inférieur à celui de la
barre. Dans le cas où Ton aurait Q = ~P, l'angle pour*-
raît être quelconque.
2. Une barre pesante ACB, appujée sur un étai DC, est soutenue par une force Q qui agit à V extrémité A Fiff. II. dans une direction donnée. Dé^
terminer la position de la barre, lorsqu'elle est sur le point de glisser dans le sens AB malgré la force de frottement qui s^ exerce au point d^appui.
Soient P le poids de la barre, G son centre de gravité, a la distance AG, x la distance GC, TinclinaisoM de la barre sur l'horizon, (f Tinclinaison de la force, R la pression normale de Tétai sur la barre, et fx le coefficient de frottement.
Projetons les forces qui sollicitent la barre sur Tborizontale, sur la verticale, puis prenons leurs moments relatifs au point C, en supposant que la barre soit sur le point de glisser. Il vient
Qcosf = RsînÔ -f- fiRcosO, Qsinf •+■ RcosÔ=rP-l-fARsinO, (A) ¥x cosO = Q(o -h x) sin (ip — e).
Eliminons R entre les deux premières équations, et pour
96 MÉCANIQUE EATIOSNELLE.
résoudre plus commodément Téquation finale par rapport k 6, posons [i = tange; nous trouvons
Qcosfc — 9) — Psini ^ Qsin(e — T)-hPcosf
L^équation (A) nous fera connaître la distance x.
3. Une planche rectangulaire et homogène CDEF, située dans un plan ^vertical, repose par Vun de ses côtés CF sur un plan dépoli AB, dont l'inclinaison à Vhorizon croît graduellement. Dans quelle position du plan la planche commencera-t-elle à glisser^ ou à tom^ ber en tournant autour de son sommet C?
Soient P le poids de la planche, a le côté CF, b le côté CD, R la pression normale que la planche éprouve de la part du plan, a Tinclinaison du plan et fx le coefficient de frottement.
Lorsque le corps est sur le point de glisser, on a
^R = Psina, B =Pcosa; par conséquent,
fA=:tanga» a = arctangfi.
Telle est l'inclinaison du plan lorsque le corps commence à glisser.
Observons cependant que le corps pourra perdre son -équilibre sans glisser. En effet, soient G le centre de gravité du corps et GH une perpendiculaire abaissée sur le côté CF. Si le coefficient |!x est assez considérable pour que la droite CG devienne verticale avant que Tangle a ait atteint la valeur arc tangp, à cet instant le corps tournera
autour du sommet C, el perdra son équilibre avant de glisser. Lorsque la ligne CG est verticale, a est égal à
Tangle CGH, d'ailleurs tangCGH= -j par conséquent,
le corps commencera par tourner si Ton afx^r-9 et il
commencera par glisser si Ton a (!z<^ t*
4.. Une tige pesante AB peut se moui^oir en tous sens et sans frottement autour de son extrémité A comme pivot; son autre extrémité B s'appuie sur un plan vertical et dépoli. Déterminer la position de la tige lorsquelle est sur le point de perdre son équilibre.
Soient P le poids de la barre, a son inclinaison sur la perpendiculaire au plan, R la pression normale que la barre éprouve de la part du plan, et (X le coefficient de frottement. Le lieu du point B sur le plan vertical est un cercle qui a pour centre la projection O de l'extrémité fixe A. Nommons Tinclinaison du rayon OB sur l'horizon, et observons que le frottement s'exerce suivant la tangente au cercle.
Si nous considérons les moments des forces par rapport â un axe vertical passant par l'extrémité fixe A, nous obtenons la relation
R.OBcose=:^RsinO.OA.
Or
OB = OAlanga; donc
taDgaco$0=:fisinO, taDg 9 = - tang a .
§. Une tige pesante appuie ses extrémités l'une sur un plan horizontal, l'autre sur un plan "vertical, et est
