Un massif, dont la surface supérieure est un plan
Fiç. 14. horizontal BX, se termine la--
c \j^i^mm ■!■ ■■iiifi Miiiiin téralement par un talus BA,
i / ^y^ de hauteur donnée. On de
\ g >^ mande de déterminer le plus
a;. / ^y^^ petit angle que le talus puisse
\i>^ faire avec la verticale sans
^ quil y ait éboulement,
(•) Mémoires de V Académie des Sciences de Paris; 1773.
STATIQUE. lOi
Soient :
AC = A la hauteur du massif;
a Tangle BAC que le talus fait avec la verticale ;
p le poids d'un volume de terre égal à Tunilé;
fx le coefficient de frottement statique;
V la force de cohésion pour l'unité de surface, lorsque le glissement est sur le point de naître.
On admet dans cette théorie que la rupture tend à se faire suivant un plan. Nous allons d^ abord déterminer le plan sur lequel la rupture est le plus à craindre, en supposant Tangle a assez grand pour qu^il y ait équilibre, mais d'ailleurs quelconque; puis nous déterminerons Tangle a, par la condition que la rupture soit sur le point de s'opérer dans le plan trouvé.
En vertu de la symétrie, le plan de rupture doit être perpendiculaire au plan de la figure. Admettons d'abord qu'il coupe le talus à la base.
Soient AX ce plan, P l'angle qu'il fait avec la verticale, et P le poids du prisme ABX. Nous supposerons que l'épaisseur de ce prisme dans le sens perpendiculaire au plan de la figure soit égale à Tunité; le calcul n'en sera pas moins général.
Les forces qui agissent sur le prisme ABX dans la direction XA, lorsque le glissement est sur le point de naître, ont une somme représentée par la formule
Pcosp — ftPsinp — vSx,
ou bien, en remplaçant P et AX par leurs valeurs,
i;?A'(langp - tanga) (cosp - fisinp) - £^-
La condition d'équilibre est que cette somme soit nulle ou négative. Plus cette somme s'approche de o, plus on doit craindre une rupture sur le plan AX.
lOa HÉCAiriQVE RATIONNELLE.
Or, quand h augmente, la partie positive de cette somme augmente plus rapidement que la partie négative, car la première partie contient A* en facteur, tandis que la seconde contient seulement h à Tun de ses termes; donc, toutes choses égales, la rupture sur le plan AX est d'autant plus à craindre que la hauteur verticale du prisme qu'il sépare est plus grande. Ainsi, c'est avec raison que nous avons placé Tintersection du plan et du talus aussi bas que possible.
Pour déterminer l'angle /3, posons
tangp=ix, Jf^ — ^y
et
{x— tanga) (i — fxx) — fl(i -*- x>) =/(j:).
La condition d'équibre sera
■ /ifL<o.
et Tangle cherché j3 sera celui pour lequel le premier membre de cette inégalité devient un maximum. Sa tangente, x, vérifiera l'équation dérivée
Ceci posé, on pourra tirer la valeur de x de cette dernière équation, la reporter dans la relation précédente où le second membre sera pris égal à o; alors on aura une équation propre à déterminer Tangle a qui fait l'objet du problème. Mais on arrivera plus simplement au m<!'me résultat en éliminant x entre les équations
f[x)=zo et r{x)=^o.
On trouve ainsi une équation qui, résolue par rapport & tang«, donne la valeur
tanga zi= i -f- ^Ja - V'/i (fl + p) (i -h fx')],
STÀTIQrS. io3
ou
Cet angle a dépend de la hauteur li,
A mesure que la hauteur augmente, tanga s'approche
de la limite -9 qui conviendrait à toute hauteur, si la co-
hésion était nulle, comme cela a lieu sensiblement dans les terres fraîchement remuées.
La plus grande hauteur W sur laquelle le massif puisse se soutenir à pic est celle qui reud nulle la valeur (1) de tanga. On trouve
Les formules (1) et (2) peuvent servir à déterminer les coefficients fx et v pour un terrain donné. Deux expériences faites, Tune dans le cas de la formule (1), l'autre dans le cas de la formule (2), suffisent théoriquement à cette détermination. '
Nayier, Leçons de Mécanique à l'École des Ponts et Chaussées; 1" édit., sect. 11, art. i.
2. Un massif terminé par un plan horizontal BX Fig. i5. peut se soutenir à pic sur
