I- gwB ^^^^^v ^ ^ ■ ^w^^^^^ ^ ^^ ^ W<î haUteur BD = h'. On
1/ ^^ demande de déterminer
 y^ le profil courbe DA tfue
'«/^^^^^^ * ^^ ^^^''^^^ ^^'^ a^'OI^ au-
J^ir \ dessous du point D, pour
^ ^ * être à la limite de stabi-
lité en tout point de ce profil.
Soient pris BD pour axe des -s, le prolongement de XB pour axe des jr. Nommons z^ jr les coordonnées d'un
point quelconque A de la courbe cherchée; par ce point menons une droite AE tellement inclinée, que le triangle AEX soit équivalent à la figure ADBX. Soient m la distance du point E à la verticale du point A, et a Tangle de AE sur la verticale. Conservons pour le reste \k notation du problème précédent.
Le terrain terminé au talus fictif AE doit être à la limite de stabilité. Si donc on observe que y? = z tanga et que z est la hauteur du talus, on aura, d'après le problème précédent,
D^ ailleurs Tégalilé des surfaces AEX, ADBX donne
DiiTérentiant ces deux équations et éléminant y?, drj^ on trouve Téquation difierentielle de la courbe cherchée.
L'intégrale s'obtient immédiatement, .
la constante étant telle, que y s^annule pour z = A'.
xo5
Sî, dans l'expression àt -j-y on remplace z par la valeur de h' qui a été donnée au problème précédent, on trouve que la courbe AD coupe la verticale 6D au point D sous un angle dont la tangente est ,
3. Soit un massif A6CDEF . . . , soutenu par un mur AB, et dont le profil est un polygone quelconque, mais constant sur toute la longueur. On suppose, dans ce massif y un prisme ABCDEX prêt à glisser sur le plan fixe AIL en faisant reculer le mur. Il s'agit de déter^ miner le plan AX par la condition de rendre un maxi" mum la résultante des forces que le prisme séparé exerce sur le mur de revêtement. On néglige la cohésion des terres entre elles et avec la paroi du mur.
Fig. i6.
Le plan AX déterminé par celte condition est nommé d'après Coulomb plan de rupture , parce qu'on admet que la rupture commencera sur ce plan, si la réaction du mur vient à n'être plus suffisante pour maintenir Téquilibre.
I06 MÉCANIQUE UATIONNELLB.
Soient p le poids des terres sous Tunité de volume;
tangcp et tangf' les coefficients de frottement des terres sur elles-mêmes et sur la paroi du mur;
a Tangle que la paroi du mur fait sur le plan borizontal AH du côté du massif;
P le poids du prisme; > R et S les résultantes des réactions du mur et du plan de rupture sur le prisme;
|3 Tangle que le plan de rupture fait sur le plan horizontal AH du côté du massif.
Les forces P, R, S, transportées en un même point, doivent se faire équilibre ; on a donc
R sin(P, S) ^ sin(R,SJ
Si Ton observe que f' et f sont les inclinaisons des forces R et S sur les normales au mur et au plan de rupture, on reconnaît aisément que Tangle (P, S) est égal à
71 — jS-f-y et l'angle (R, S) à tt — (a — (3) — y — ç'. Par suite.
Il nous faut exprimer le poids P à Taide d*un élément géométrique qui fixe la position du plan AX; alors la question sera réduite à déterminer le maximum d'une fonction d'une seule variable.
Pour ce calcul il suffira évidemment de considérer une longueur du prisme égale à Tunité; en outre il faudra supposer que Ton connaisse le côté du profil poly* gonal qui est coupé par le plan de rupture.
Soient EF ce côté;
Cl) son inclinaison à Thorizon, qui sera positive si la
STATIQUE. I Oy
droite EF s'élève en s'éloignanl du mur du côté du massif^
k ]a distance du point A au côté EF*;
Al une droite tellement inclinée, que le triangle formé par celte droite, le côté EF et la droite AX, soit équivalent au polygone ABCDEX (cette droite AI est connue) ;
ï. l'angle que la droite AI fait avec Thorizontale AH du côté du massif.
Première solution. — On prend pour inconnue la quantité tang(j3 — (f).
L'expression de Taire du triangle AIX, en fonction de la hauteur et des trois angles, donne d'abord
2 sin ()i — w)sin(p — w)
Si Ton substitue cette valeur dans Téquation (i), que Ton remplace ensuite sin (ï — (3), sin (p — &)), sin (a — PH-^-h^'') par les expressions équivalentes
sin(^ — y) cos(P — y) — sin (p — ^) ces (*a — ^), sin(p~^) cos(f — »)-+- sin(y — w)cos(p — f), sîn(a -f-f')cos(p — «p) — sin(p — «p) cos (a -f-y'),
et que. l'on pose, pour abréger,
h* cos {\ — «p)
•2 sin (X — «)cos(^ — w)cos(a-f-/j *
laog (X — (p) = lî, tapg (y — «) r= ^, lang{a -h f ) = c, tang(p — ç) = x, il vient
La valeur de x qui rend cette pression un maximum
lo8 MÉCANIQUE KATIOSHELLE.
vérifie Téqualion
(6) — ou A —————— o.
On en tire
