IQUE

R ne pouvant être négatif, il s'ensuit que le facteur Ac(a+ b) est positif. Divisant par ce facteur la valeur

de la dérivée -7-5- obtenue précédemment, on voit que

cette dérivée a le signe de la quantité

■Wi

c(c — a) b{a-hby

Si donc on nomme K la valeur numérique de cette der* nière quantité, la formule

représentera la pression maximum quand on prendra le signe inférieur, et la pression minimum quand on prendra le signe supérieur.

Les valeurs correspondantes de x sont

__(i ±K)tangfa -h<p')

eiTi

on a

/sin (a — > -f- ç -h 9' ) sin ( f — w )

V sin(X — »jsiu(a -f- 9')

Le minimum ne répond pas au problème actuel ; mais, si Ton change les signes des angles f et ^' dans les formules relatives au minimum, elles donneront la solution du pro-

IIO HÉCANIQUB EATIONHELLE.

blême correspondant k celui qui nous occupe, pour le cas où le mur tendrait à s'avancer dans rintérieur du massif en soulevant un prisme de terre.

Observons encore que, dans les deux cas, si Ton s'était trompé sur le choix du côté EF coupé par le prisme, les formules en avertiraient, et Ton aurait à recommencer le calcul en choisissant un autre côté. Au reste, un peu d'attention suffira d^ordinaire pour éviter ces tâtonnements fâcheux.

Comme application, supposons que la surface supérieure du terrain soit un plan horizontal, et que Ton puisse négliger le frottement des terres contre le parement du mur. Alors on aura a) = o, X = a, ç' = o, et Ton trouvera facilement la pression maximum

sm

2 sin a . . a 4- 9 sm* ^

ainsi que Tinclinaison du plan de rupture,

Deuxième solution, — Joignons le point A au côté EF par deux droites AM, AN, situées de part et d'autre de la droite AB, et formant avec elle les angles a — y, (y-*- (f'. Entre les droites MN, AN^ menons des droites IF, XX' parallèles à AM. L'inconnue sera la position du point X'.

(*) M. Saint-Guilhem, auquel nous empruntons cette solution {Journal de M, Liouvillc, t. IX, p. i; i8/|4)i l'étend au cas où Ton tient compta de la cohésion des terres entre elles et ayec la paroi du mur. Mais, comme l'objet de ce calcul est de déterminer l'épaisseur qu'il faut donner an mnr pour qu'il ne soit point repoussé, il est plus sûr de ne pas supposer une cohésion qui peut être anéantie par un ébranlement fortuit.

La Géométrie nous donne les relations

P = -/?// ÏX,

sin(p~y) AXf^

5in(a — p-hf -4-<p')"'xv'

Ix vlO

MN "" "an"'

^âtT XV

AMN =: ÂN.ÂM sin (a -h ^' ).

"Égalant le produit des premiers membres à celui des seconds membres, il vient (i)

^ ^ WX'

Or, sî l'on pose avec M. Bélanger (Cours de l'École Polytechnique)^

NA = fl, NF=r I, NX^=r X,

on voit aisément que le maximum de la fraction

KX' ~ -«^

répond à a: = ^'. Telle est donc la distance du point X' au point N.

Le point* X' étant connu, il suffira de mener par ce point une parallèle par la droite ÂM pour avoir la position du point X et, par suite, celle du plan de rupture.

Le maximum de la résultante R est

R 1= - /? sin (a -+- y') {a — \/flï)% R=:i/7sin(a-hf')ÂX'\

lia HÉCANIQUE alTIOBNELLE.

Les considérations géométriques sur lesquelles se fonde cette solution sont dues à M. Poncelet [*).

4. Restant dans les conditions du problème précé^ denty on demande de trouver le centre depoussée^ c^està'dire le point d'application de la pression normale sur le parement du mur.

Soient /= AB la hauteur du mur, z la distance du centre de poussée à Tarèle de couronnement 6^ R. la pression normale exercée sur la partie du mur qui est comprise entre Parête de couronnement et une horizontale située à la distance z ; on admet que cette pression est la près* sion maximum que donnent les formules du problème précédent appliquées à la partie du mur considérée.

Écrivant que le moment de la pression résultante R autour de Tarête B est égal à la somme des moments des composantes, il vient

dz

La question est ramenée à une quadrature.

Pour le cas d'une terrasse dont le plan supérieur monte à partir de, l'arête de couronnement, en faisant avec l'horizon un angle co, moindre que Tangle (f du talus naturel des terres, R. est proportionnel à z', et, par suite, on a

(*) Mémoire sur U stabilité des rcTètemeDts et de leurs fondations ( Mémorial de VOJJieier du Génie, n» i3 ; iS^o).

ftTATIQUS. Il3