CHAPITRE IV
ÉQUILIBRE DE PLUSIEURS œRPS.
Pour un système compose de plusieurs corps solides, on détermine toutes les circonstances de Tëquilibre par Tensemble des équations qui expriment que cbacun des corps est séparément en équilibre, sous Tinfluence de toutes les forces qui le sollicitent
SECTION I
iQriLiBRE sAirs frottsmeut.
1. Trois tiges métalliques pesantes A6, A'B', Â^'B'^ légèrement flexibles sont enlacées entre elles comme le représente la figure ci-jointe, et sont sensiblement horif zontales. Leurs extrémités A, A% A'' s'appuient sur trois supports } les autres extrémités B, B'^ B^ soutiennent un corps pesant. On demande de calculer les pressions qui s'exercent entre les tiges aux points B, B', B^.
Soient aP, aF, aP'' les poids des tiges; Q, Q', Q^ le» poids que portent les extrémités B, B', B'^; a, a\ a^ les L a«toiT. 8
Il4 XiclHIQUB aÂTIOUHELLE.
loiiguears des tiges ^ b, V^ IP les longueurs des segments AB'', A'B, A'^B'; x, a/, x" les pressions qui s'exercent aux points B, B', B''.
Considérons la tige AB. Au point B agit le poids P provenant de la pesanteur de la tige, le poids Q et le poids produit par la pression x^ agissant sur le levier AB^B ;
ce dernier poids est égal à~x^. Nous avons donc
et de même, par permutation circulaire,
a" En posant, pour abréger,
P-»-Q=:R, P'-*-Q'=rR', P* 4- Q' = R%
les équations précédentes nous donnent
\ aa'a" ) aar a
1 ru K==:R'-f--7-R''-4--7R,
(l — j)j:'=:R^-f--7r-7Rr -f- -yR'.
\ aa'a") a" al a"
Si a = ft'= a" et i =r V =h\ il vient
* "— a — A * a» -f- «6 -f- A' * et,siR = R' = R^
STATIQUE. Il5
Bien des en&iits savent que trois couteaux de table a lame un peu flexible peuvent en réalisant cet assemblage rapporter un poids assez considérable.
2. Entre deux plans inclinés on place deux sphères homogènes, de telle manière quelles s*appuient Vune contre Vautre^ et que cliacune déciles touche Fun des plans. Déterminer la position d^ équilibre,
. On voit d^abord que Tintersection des deux plans doit être horizontale, et que la ligne des centres doit être perpendiculaire à cette intersection. Le problème sera donc résolu, si nous déterminons l'angle que la ligne des centres fait avec Thorizon.
Soient R la réaction mutuelle des deux sphères, P et P' les poids de ces sphères, a et a' les angles aigus que les ;deux plans forment avec Thorizon \ admettons qne Tangle a se rapporte au plan qui touche la sphère P, dont le centre est le moins élevé. Par les points de contact entre les plans et les sphères, abaissons des perpendiculaires sur Tintersection des deux plans, et pi-ojetons sur ces deux droites les forces qui sollicitent chacun des deux corps. Il vient
R cos(« -f- 9) = P sina, Bcos(V— 0) = P'sîna';
d'où Ton tire, par Téli mi nation de R,
** (P' -*- P) lang«' tang«
3. Trois sphères homogènes sont placées dans Vin^ teneur d*une sphère creuse^ de telle sorte que les quatre centres soient dans un même plan verticaL Déterminer la position des trois premières sphères j lorsqu elles sont en équilibre.
Soient C le centre de la sphère creuse, c,. c\ d' ceux
ii6 hécâhique RÀTionncLLB.
des trois autres sphères, P, P', P*' les poids de ces sphères, dj d\ d" les distances de leurs centres k celui de la sphère creuse, 9 l'angle que Qd forme avec rhorizon, a Tangle cC(/, a^ Tangle d'Cd. Admettons que les lettres (/, d' se rapportent à la sphère qui est touchée par les deux autres, et que la verticale du point C passe entre les points c, {/.
Nous pouvons considérer Tensemble des trois sphères intérieures comme ne formant qu^un seul corps solide; car ce corps sera en équilibre, si chacune des trois sphères est séparément en équilibre. Prenons par rapport aa point C les moments des forces qui sollicitent ce corps composé. Il vient
Prfcos(0 -1- a) -h Pd' cosG -h Vd' cos(G — a") = o;
d'où
Vd COSa -h "^d' -f- P^rf^ cosa^^ ^°^ "~ Vd sina — P" rf*' sina''
Cette relation suffit pour déterminer la position d'éqmlibre, car toutes les quantités qui entrent dans le second membre s'expriment aisément en fonction des rayons des sphères, lesquels sont connus.
4. Deux barres pesantes et homogènes reposent leurs extrémités inférieures sur un même plan horizontal, et appuient leurs extrémités supérieures l'une contre Vautre, On admet que la petite surface de contact entre les deux extrémités est dans un plan "vertical^ et que les extrémités inférieures ne peuvent glisser sur le plan qid les supporte. Déterminer la position d^équiUbre»
Soient P, V les poids des deux barres, 0, ff leurs inclinaisons à l'horizon, et R leur réaction mutuelle, qui est horizontale.
Si l'on prend leç moments des forces qui sollicitent
diaqoe barre, autour de reztrémité inférieure, il vient
PcosO = aRsinO, P'cosd'nzaRsinO'; d'où
P^ tengO F~ tango'* FmANCHiNi, Memorie délia Società italiana^ t. XYI, part. 1, p. 287; 181 3.
8. Deux cylindres sont lies Vun contre Vautre par un fil inextensible. Déterminer le rapport de la tension du Jil à la réaction mutuelle des deux cylindres.
Considérons la section faite par le plan qui contient le fil et qui est perpendiculaire aux cylindres.
Soient aoE Tangle au centre sous-tendu par Tare que le fil recouvre sur le plus petit des cercles de section, r et r' les rayons dexes deux cercles, T la tension du fil, et R la réaction mutuelle des deux cylindres.
Si nous projetons sur la ligne des centres les forces qui sollicitent Tuu des cylindres, il vient
R=T / cosa£/a=aTsîna;
d'ailleurs, si Ton suppose r> r', la Géométrie nous donne
COSa= ;, sina=^ ; i- zzr — i ;:
par conséquent,
T __ r-hr'
6. Deux fils inextensibles sont attachés en un même point fixe\ Vun supporte une sphère^ Vautre soutient un poids qui pendau^^dessous de la sphère sans la
ii8 MÉcAifiQm ratiouhbllb.
toucher. Déterminer Vangle que le premierfilfaMi avec
la verticale.
Soient P le poids qne soutient le second fil, Q — P le poids de la sphère, a le rayon de la sphère, et h la distance du centre au point de suspension.
L*angle cherché est arc ^îi^ ( ^ ] *
7. Une tige rigide et sans poids ACB est liée à deux points fixes A, C, et porte un poids P à son extré^ mité B. Déterminer les pressions exercées sur les deux points fixes.
Soient a la longueur de la barre, a son inclinaison sur
la verticale, h la distance AC des deux points d'attache,
F et G les pressions parallèles i la barre qui sont exercées
sur les points A et C, R et S les pressions perpendiculaires
i la barre qui sont etercées sur les mêmes points.
On trouve
F-+-G = Pcos«,
S = -7 P sina, R = — r — Psina. o à
L*une des pressions F, G est arbitraire.
8. Un cylindre creux, très-mince^ de rayon r', ouvert à ses deu^ extrémités^ est posé debout sur un plan horizontal. On place dans l'intérieur deux sphères égales^ dont on connaît le poids P, et le rayon r plus grand
r' que — • Quel doit être au moins le poids du cfflindre pottr
que celui-ci reste debout après l'introduction des sphères? Le poids du cylindre doit être égal ou supérieur à
