Deux sphères inégales sont suspendues aux deux
«rATIQOB. 119
extrémités iun fil très^minee^ engagé dans un petit anneau. On conçoit que les deux sphères puissent être en .équilibre^ si elles se touchent^ et que le centre de la plus légère soit plus bas que celui de la plus pesante. Prouver que dans cet état d^ équilibre les distances des centres des sphères à tahneau de suspension sont en raison inverse des poids de celles-ci. On néglige le poids du fil, son frottement sur Vanneau^ et le frottement des sphères entre elles.
SECTION IL
AQUILIBRB AYEC FEOTXBICEIIT.
1. On place une splière pesante et homogène dans Viniérieur d^un angle dièdre, dont rareté est horizon^ taie y et qui est formé par deux lames égales et rectan^ gidaires^ libres de tourner autour de l'arête commune. Les bords extrêmes des deux lames sont léunis par un fil dont on augmente graduellement la tension. Déterminer la "valeur qua cette tension lorsque la sphère commence à prendre un mouvement ascendant.
Admettons, pour plus de simplicité^ que les deux lames soient homogènes \ nommons Q le poids de chacune d'elles, a a leur inclinaison mutuelle, a a la longueur de leurs côtés inclinés, R, R^ et F, F' les pressions normales et les frottements qu'elles exercent sur la sphère, f£, (i les coefficients de frottement, P le poids de la sphère, r wa rayon, et T la tension du fil.
Lorsque le système est en équilibre, son centre de gravité est situé dans le plan vertical qui contient Tarête fixe; d*où il suit que les deux lames font des angles égaux avec l'horizon. De plus, la symétrie du système montre que Ton a
R'=R et r = F.
laiO MÉCÂHIQUB mÂTtOH]nELX.E.
Ceci pose, projetons sur la verlicak les forces qui sollicitent la- sphère, et prenons antour de l'arête fixe les moments des forces qui sollicitent la première lame. U vient
sFcosa + P = 2Rsina,
Rrcota + Qasina= sTacosa.
La sphère ne peut prendre un mouvement ascendant sans glisser sur Tune des lames; par conséquent, elle commencera à monter lorsque le frottement F sera devenu égal à la plus petite des quantités jxR, yL'B!. Supposons que p soit inférieur à fx' ; alors la sphère commencera par glisser sur la première lame, à laquelle se rapporte le coefficient ^, et elle roulera sur Tautre face du dièdre. A cet instant on aura, diaprés les équations précédentes,
a(sina — /Acosa)
4asma(siQa — ftcosa) a °
ou, si Ton pose fx = tange, ^ Pcosc ^ Prcosf I ^
R= ^-: r> T = 7 : :—, ^, •+- - Q taUga.
2sm(a — t) i^asmasin[a — t) 2 ^
2. Deux roues égales O, O^, situées dans un même plan vertical, sont posées sur un plan incliné^ leurs axes sont réunis par une barre homogène^ gui porte en son milieu un poids Q ; Vune des roues O est enrayée, r autre est libre. Quelle est la plus grande inclinaison du plan qui soit compatible apec V équilibre du chariot?
Soient rie rayon des roues, P leur poids, aa la longueur de la barre qui unit les axes, q le poids de cette barre, X et Y les composantes de la réaction de la roue libre sur la barre estimées suivant une parallèle et suivant
Boe perpenàicnkire au plan incliné, R et R' les réactions normales du plan sur les deux roues O et O', (f Tindinaisou du plan, (i le coefficient de frottement entre le plan et la roue O .
Considérons Tensemble de la barre et de la roue enrayée, comme ne formant qu'un seul corps; et supposons 'que ce corps soit sur le point de glisser. Si nous projetons les forces qui le sollicitent, d'abord sur une perpendiculaire au plan incliné, puis sur une parallèle, et que nous prenions leurs moments par rapport à Taxe de la roue, il vient
R -f- Y = (P -h Q -h ^) cosy, fiR— X=r:{P-hQ-4-^)sinç, fiRr -h 2a Y =1 (Q -h ^) fl cos ç .
Prenons maintenant les moments des forces qui sollicitent la roue libre, par rapport à son point de contact ayec le plan. Nous trouvons
Xr=Prsinç,
L'élimination des quantités X, Y, R, entre les quatre équations qui précèdent, nous donne la tangente de Tinclinaison cbercbée
fia
tongç=,-^ -'
%a — ptr
3. Deux barres égales AC, BC sont réunies en C par une charnière sans frottement, et leurs extrémités infé' Heures reposent sur un plan horizontal. On connaît par obsen^ation la plus grande 'valeur ^ de V angle ACB qui soit compatible avec V équilibre, et Von veut avoir le coefficient de frottement entre les extrémités injé^ Heures et le plan .
Ce coefficient de frottement est égal à *- tang -•
ia% ' HÉCÂHIQUB lATIOnilELLE.
4. Varcanseur-cale, imaginé par M. Bloiin pomr empêcher le recul des 'voitures, se compose d'un^ dge em fer OM mobile autour d'un axe horixonial O, gui est solidement implanté dans le châssis de la toiture, aU" dessus de la roue. U extrémité lA de la tige est pUée horizontalement en forme de crocltet^
Quand on "veut se sentir de cet appareil, on laisse tomber la tige en arrière de la roue^ le crochet s^ arrête contre la jante un peu plus bas gue V essieu, et la presse par r effet de la pesanteur, à la manière d'un léger frein,
ji quelle condition doit satisfaire cet appareil pour que le frottement du crochet sur la jante s^ oppose à tout mouvement rétrograde de la roue?
Soient C le centre de la roue, OA une perpendiculaire Fig. 18. ^ MC,'jx le coefficient de frottement
au départ entre- la roue et le crochet, R la pression normale de la roue sur le crochet.
Supposons la roue immobile, et imaginons qu'on exerce sur elle un effort tendant à la faire rétrograder dans le sens de la flèche. La tige reste en équilibre sous l'action de son poids, de la pression R dirigée dans le sens du rayon CM, et d'une résisUnceau frottement dirigée suivant la tangente au cercle dans la direction MF.
Nous représenterons par Pa le moment du poids de la tîge relatif à l'axe O, et par fx'R la résistance au frottement, fx' sera une quantité positive, croissant avec l'effort exercé, toujours inférieure ou égale à (i. L'équation des moments relatifs au point O est
P« -f- p'R.MA — R.ÔA = 0.
On en lire
ST4V1QVB.
Va
ia3
OA — fA'MA
D'après cette formule on volt que la pression R augmente en même temps que ftf avec TefTort exercé pour imprimer à la roue un mouvement rétrograde , et devient
infinie qnand
