S AC.DO.BO
Cette condition est nécessaire pour l'équilibre; de plus, elle est suffisante, car si les côtés AB et DG ne tournent
Fîg. aa.
pas autour des sommets A et C» le quadrilatère ne se déforme point»
3. Un quadrilatère ABCD est formé par quatre tiges rigides et sans poids, qui peu^ vent tourner librement autour des sommets comme charnières^ les tiges contiguës sont réunies deux à deux par des fils att^ bPj cy^ dSj dont on connaît les tensions A, B, C, D« Quelle est la condition géométrique que le quadrilatère doit vérifier pour être en équilibre?
La force A, qui est appliquée au point a, peut se décomposer en deux forces parallèles : l'une appliquée en A et 1 autre B' appliquée en B. Cette dernière est égale A
£Ue peut à son tour se décomposer, d'après la loi du parallélogramme, en deux forces : l'une dirigée suivant BA et appliquée en A, l'autre B'"^ dirigée suivant la diagonale BD. Cette dernière est égale à
sinÂaa sioABD*
Or les triangles Kaa et ABD nous donnent
sinAna .Aa
sînA
BD
sinA
aoi
siaABD AD
Il s'ensuit
^ jAa.Ac.BD B^ ^3 A -
AB.Uft.AD
laS XiCAllIQVB KâTIOimLLBé
Décomposons de la même manière la force A, qai est appliquée an point a, en deux forces appliquées en A et une force D^ appliquée en D, dirigée suivant DB.
La somme des moments des deux forces A égales et contraires appliquées aux points a et a, étant nulle par rapport à tout point de l'espace , il en résulte que les composantes W et D^ sont égales et contraires (*)j et que les quatre composantes appliquées au point A se font équilibre.
On voit donc que nous pouvons remplacer le fil aa par un fil dirigé suivant la diagonale BD, et dont la tension sera
— Aa.Ag.BD aa.DA.BA*
Nous remplacerons pareillement le fil cy par un fil dirigé suivant la même diagonale BD, et dont la tension sera
- Cy.CcDB c7.BC.DC*
Les deux fils aa, cy se trouvent alors remplacés par un seul fil dirigé suivant la diagonale BD, et dont la tension est égale à la somme
— Aa.Ag.BT) - Cy.Cc PB aa.DA.BA"^ c-y.BC.DC'
Aux deux fils b^^ddy nous substituons de même un seul fil dirigé suivant la diagonale AC, et dont la tension est égale à la somme
g Bp.B^.CA -j P^.D</.AC ^p.AB.CB"^ £/d.CD.AD"
(*) On reconnaît, en effet, que la valeur de B' ne change pas par li permutation de B en D^ et de « eh oc.
STATIQUE. 'lap
Nous rentrons ainsi dans le problème présent, et» d*après ce problème, la relation cherchée est
OB^/ B.Bp.B^ D.D^.Drf V j^^ \bp.Ah.CB *^ dS.CD.AD/
OA.OC / Â.Aa.Aa C.Cy.Cc X "~ Âc' \«a.DA.BA"'"c7.BC.DC/
EuLKEy ^cla A Cad, Petrop,, '779» P^rt. xi, p. io6.
