Polygone Jitniculaire. — Soient
MoMiMi... M«^i M« un polygone funiculaire en équilibre 5
Pi» P»)*--9 P»-i les forces appliquées aux sommets Mi, M,,..., M..,-,
Ti, Tt,..., T. les tensions des cordons M»Mi, Ml Msf. M M^iM..
On peut supposer le polygone solidifié, et l'équilibre ne cessera pas d'avoir lieu. Or l'équilibre d'un corps solide exige que les projections des forces sur une direction quelconque fassent une somme nulle ; donc les projections des forces P et des tensions extrêmes Ti, T„ sur une direction quelconque font une somme nulle. Par suite, si Ton trace, à partir d'un point arbitraire, des droites consécutives parallèles et proportionnelles aux forces T|, Pi, Pfv? Pn-t, T„, ces droites formeront un polygone fermé.
Ce que nous disons pour le polygone funiculaire entier s'applique à une portion quelconque de ce polygone. Il en résulte que les diagonales du polygone des forces qui joignent le sommet (Ti, T„) aux sommets successifs (Pt, Pt), (Pli P»)v.-î (Pn-i, Pn-i), sont parallèles aux cordons Ml Ml, Mt Ms, . . . 9 M^t M«i.t et proportionnelles i leurs tensions T9, T| , . . . , T|^s •
6. Ponts suspendus. — Appliquons ce théorème an polygone formé par chacune des chaînes d*un pont suspendu. Considérons la portion de la chaîne qui est corn-
{*) Mémoires de VAeadémie des Sciences de Paris, 1731, p. 6^.
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STATIQUE. l3t
prise entre deuit sooinieu M^» M., situés à la même
hantemr, mais d'ailleurs qocloanqnes, et frisons abstraction du poids de la chaîne. Les forces P sont toutes verticales; par suite, le polygone est plan; ces forces agissent a égales distances; de plus, elles sont égales entre eUes, sinon le tablier tendrait à se courber.
D'après cela, portons sur une* droite ^verticale M^ A» des longueurs égales Mo Ai, Ai At» etc^ en même nombre que les côtés du polygone considéré^ des extrémités Mo, A» de V ensemble de ces longueurs ^ menons deuxparal'^ lèles aux côtés extrêmes^ et joignons V intersection Mi de ces deux lignes aux points de division Ai, Atf etc. Les lignes MoMi, A| Mi, AfMi, etc.^ seront parallèles aux chaînons successifs^ proportionnelles à leurs ten'^ sionsj et aussi proportionnelles à leurs longueurs (*).
Quand on se propose de construire un pont suspendu, on ne se donne pas à priori TaDgle de Tun des chaînons MoMi avec la verticale; mais plutôt on choisit convenablement la hauteur de rextrëmité M^ au-dessus du chainon horizontal MsM«. Dans ce cas^ pour trouver la direction du chaînon MoMi, on observe que ce chaînon et le chaînon horizontal supportent en définitive la moitié d^une portion du tablier dont les extrémités dépassent de quantités égales les projections des sommets Mj , M, ; d*oiî il suit que les directions M^Mi, M4MS doivent. se couper sur la verticale du centre de gravité de cette portion du
(*) Lamé et Clapetbon^ Journal des voies de eommuaieation; Saint-Pétenbours, 1827, n® 6.
iSft MécAllIQtrC RITIOVHBLLB.
tablier» c*est-à^lire à égale distance des verticales des sommets Mif Mf Dès lors, ces verticales étant connues, on a deux points de la direction cherchée M^Mf Pour tracer le polygone» il ne reste plus qu'à placer bout à bout, à la «uite de la ligne M^Mt, des droites %ales et parallèles aux obliques AiMi, AiM], etc.
Soient a la longueur d*un chaînon en projection horizontale, b la longueur M^ Ai ou la diiTérence entre les projections verticales de deux chaînons consécutifs, et O le milieu du chaînon horizontal. Prenons la verticale OX pour axe des x et Thorizoutale OA^ pour axe des j^*
Les coordonnées du point Ma sont
celles du point M| sont celles du point Mi,
celles du point M^,
xz^b-^nb -hib. Y = — h 3a;
et généralement celles du n'^"*' sommet a partir du chaînon horizontal sont ,
« = [1 -h 2 -H 3 -+-...-!-{« — i)] A, jr:= a.
Éliminant n entre ces deux équations, il vient
C'est Téquation d'une parabole.
tTATlQVB* |33
. Les âommeta du polygone fonn^ par lea chaînés aont donc anr une même parabole dont l'axe est vertical et
dont le paramètre est égal ^ "r* .
On peut observer que tous les chaînons sont tangents in leur point milieu à une même parabole égale à la première. (Foi'r chap. V, sect, ii, prob, 10.)
7. Quatre barres AB, BC, CB,, Bj Aj sont articulées entre elles aux points B, C, Bi situés dans le plan ver*
tical de la figure. De plus, elles sont reliées par les tirants AC, BBi , CA| \ et tout le sy^stème repose par les extrémités A, Al sur un plan horizontal. Les pièces AB et BC ont respectivement les poids P e£ Q égale» ment répartis sur leur longueur; tout est symétrique de part et d'autre de la verticale CD; on néglige le poids des tirants.
Calculer les tensions tu, n des tirants AC, BBi et les pressions p et q qui s'exercent aux articulations B et C.
Soit BG une perpendiculaire sur AC, et x Tinclinaison de la pression p sur Thorizontale.
On trouve
^ (PH>aQ)Ag '"- ÏBG '
pCOSX:
AD
amBG + Q.FD
1="' = icË— '
CD ' /i sin « = Q + m —77 •
8. Une tige horizontale ADB porte un poids Q à son extrémité B, et est soutenue par une seconde tige CD; les extrémités AetC sont fixées sur une même verticale.
tS4 utcunqvE mAnoHBBiXB.
et sent munies de charwièrts, ainsi ifue le point de jonc* tion D. Déterminer la pression exercée à Vesttréndti C de la seconde tige. On neigera le poids des deux tiges.
Soient H la composante horizontale de la pression cher» ehée, et V la composante verticale.
On trouve
et, par conséquent, la pression totale est
