XXXIX, XL, XLI
.(*«*) Pkoronùmim, Hb. I, cap. m, et Appendice, $ V. (♦»«») 0/9fra« t. IV, p. a34.
que nous désignerons par t^etenp une force représentée par t-^it. Ces forces sont les tensions du fil aux points considérés*
La première tension a pour composantes suivant les axes
djp djr tiz
di ds dt
et les composantes de la seconde sont
dx d. / da:\ ^ dr d. / dr\ ^
'd;^z\!d;)^'^ 'i-^di['£)^'^
d./ dz\ ^
diVdi}^''
dz
Soient X, T» Z les composantes parallèles anx axes de la force rapportée a l'unité de masse, qui est directement appliquée à la molécule P. Nommons m la masse du fil au point P rapportée à Tunité de longueur^ ou, ce qui est la même chose, le produit de la section du fil en P par la densité qui existe en ce pointé
Les composantes des forces directement appliquées à Télément Vp seront
\m9s, Ym9Sf ZmSs*
Dès lors nous aurons trois équations d'équilibre, si nous écrivons que la somme des projections sur chaque axe de toutes les forces qui sollicitent l'élément Vp est nulle. Il vient
d. ( dx\ diVd7)
-H IWX = Oy
d. l dz\
+ mZ :=:= O.
i38 uÊcksiqv^ baxxoiihelle*
Si Ton éUoiixie t, oo irouvie
cLr I mYds = djr j mlLds^ djr f mZds = dz j m Yd>, d$ j mXds^=dx I mZds.
Deux quelconques de ces dernières équations représentent la courbe décrite par le fil.
CoEOLLliRX I. — Intégrons les équations [a) par rapport à 5, et ajoutons lés carrés des résultats, en ayant égard k la relation
dx^ dy^ dz"
nons trouvons
1»= ( CmXds\\ ( Çmrds\\ ( ÇmZd$\\
Cette formule nous fait connaître la tension.
Oa peut encore obtenir la tension sous une antre forme. En effet, multiplions les équations (a) respectivement par dx^ dy^ dz^ et ajoutons les produits, en observant que Téquation (b) nous donne par diflférentiation
dxd^x dyd^ dz d^z 'Z'dF'^'di ds^^di'd?'^^* il vient •
m{yidx -H Ydf -+- Zdz) -H oonst.
Ces deux formules ont été données pour la première fois par Fuss dans les Mémoires de Saint^Pitersbourg (17949 p. i5o, i5i).
CoROLLAiHs n. — Quand le fil entier sera situé dans un
même plan, nons prendrons ce plan pour celni des ocji et la eonrbe sera représentée par la seule équation
dx I mYds=.dy 1 mUds,
SECTION U
FIL SOLLICITÉ PÀft DBS FORCES PARALLÈLES.
1 • Un fil flexible et pesant est attaché par ses extré^ mités en deux points fixes; la masse m rapportée à Vunité de longueur varie d'un point à un autre, ^uiV^nt une loi donnée. Trouver Véquation de la courbe formée par le fil. Réciproquement^ la courbe étant donnée, déterminer la loi-suivant laquelle varie la masse, "
Le IBI sera tout entier situé dans un plan vertical.
Prenons l'axe des x horizontal, et Taxe des y vertical dirigé de bas en haut; oDuservons pour le reste la notation employée dans la section précédenie.
X = o, Y = -ff,
et les éqoations (a) se réduisent anz suiTantes :
d l dx\
La première équation donne dx
(2) t-j- = CODSt. = C.
Or, au pwnt le plus bas de la couil>e, ou a — = i ; par cométpmBtj si Ton nomme r k tension da fil en ce point,
€=rr.
xio xicAiriQUB mâTfOirirBLX.1*
et réqnaticm (a) devient
dx
Éliminons t entre cette dernière formule et Téquation (i); nous obtenons
Au point le plus bas de la courbe, ^ = o ; par consé* quent, si Ton nomme a la vsjeur de s correspondante à
ce point, on aura
Telle est Téquation différentielle de la courbe. Pour Tintégrer, il faut connaître l'expression de m en x, y^ s. Diffërentions cette dernière formule^ il vient
Cette équation fera connaître la masse m, lorsqu^on aura
Téquation de la courbe.
La tension est
ds
jBàH BBairoinxi, Leetiones mathemaUcœ, lect. 38, 39, 4oi Û/Mfnf, t. m.
. SL Unfilflùxible et pesant est attaché par ses ^xtrê^^ màés en deux points Jixes} la niasse rapportée à Vanité
STATfQmU i4i
de longueur est en chaque point inversement propor* tionnelle à la racine carrée de l'arc qui sépare ce point du point le plus bas. Déterminer la courbe formée par
Conservons la notation du problème précédent, et comptons les arcs à partir du point le plus baS| lequel sera pris pour origine des coordonnées.
Soit p la masse correspondante k reztrëmité de Tare c. Ona
Posons, pour abréger, Alors
±-Jt, l±\-'-
différentiant,
. d. Idyy ds / dy*
C est mie constante que Ton détermine par la condidon que Ton ait à la fois
JF = o et -î^ = o.
l4a MÉCAKIQVB SATiOMBLLB.
Ilyieiit
ou
et par intégration,
— 2pMog[j?-hap -h(^-t-4P*) J-
On détermine la constante C par la condition que la courbe passe à Tori^e ; cela donne
C' = -2pM0g(2p),
d'où
aPr = -W-+-2P)^''-+-4P-»^-2pMog ^—^ îtiL..
Telle est Téquation de la courbe.
CoaoLLAiKE. — L'équation (i) donne ds j:-*-2p
par conséquent la tension a pour valeur
ds T , -.
Jean Bebnoulli, X^r. mathem,; Opéra, t. III, p. 497*
3. Un ^l flexible, dont les extrémités sont fixées sur me même ligne horizontale, prend la forme d'une demi^ circonférence, sous V influence de la granité. Déterminer la loi suivant laquelle la masse du fil rapportée à V unité de longueur varie 'd^un point à un autre*
stÀstqvm. 143
ConsenroDS la noutioD du problème précédent, «I soit a letayon de la circonférenœ»
L'équation de cette courbe est
On
en tire
dx
ds
dx
>la* — x^
et,
d'après le
I, équation
T dx^
ta
tY'
djc
Ainsi la masse varie en raison inverse du carré de la distance au diamètre horizontal.
CoROLLiiES. — La tension est
Jean Bxriioulli, Opéra ^ t« III, p. 5o2.
4. Un fil homogène, d*épcUsseur constante^ est atta*^ ché par ses extrémités en deux points situés sur une même ligne horizontale^ la tension aux deux extrémités est égale au poids de tout le fil. Déterminer la longueur du fil, la distance verticale des deux extrémités au pùint le plus bas de la courbe décrite, et la direction des tangentes extrêmes.
Prenons Taxe des y vertical^ à égale distance des deux points d'attache, et Torigine à une telle hauteur, que la tension, au point le plus bas de la courbe, soit mesurée par le poids d'une longueur de fil égale à Tordonnée de ce
X44 MÊCiLHIQUB mâTIOKHELLE.
poinL Soient m la masse du fil rapportée à rnnité de longueur, a a la distance des extrémités, c rordonnée du point le plus bas, d la distance verticale de ce point & la droite qui joint les deux extrémités, / la longueur du fil, et cp Finclinaison des tangentes extrêmes sur Taxe des x. L'équation de la courbe est, comme Ton sait,
On en tire
n nous faot éliminer l'inconnue c de cette expression. Au point (T,jr) la tension est
^ f- --\ A l'extrémité, cette valeur devient
- mcg l e*^ -h tf '^ 1 .
Or, par hypothèse, cette tension doit être égale à mgl] donc
- mcg l e -*- ff / = '"^S V ^ — ^ / »
et, par suite,
*'=3. f = ^«og3,
Telle est la longueur du fil.
STATIQUE. 14s
L'ordonnée des points d'attaclie est Cette ordonnée est aussi représentée par c 4- ^; donc
Telle est la distance du point le plus bas à la droite qui joint les extrémités.
On a généralement
à l'extrémité du fil,
d'où
ou
5. Î7/1 Jil homogène, d^ épaisseur constante, repose en équilibre sur deux chei^illes très-minces, situées à la même hauteur^ et qui n^ exercent aucun frottement. On cannait la distance 2 a des deux supports, et l'on demande la moindre longueur du Jil qui puisse permettre V équilibre; on propose encore de déterminer, pour une longueur donnée du Jil ^ la courbe quUl affecte, et la pression P quil exerce sur chacun des deux supports.
Nommons L la longueur totale du fi), T sa tension aux points d'appui, et conservons pour le reste la notation du problème précédent^ / sera la longueur du fil courbé en chaînette.
