I. 2« ÉWT
l46 MÉCIHIQUB EATIOHHELLE.
D'après ce qui précède, Téquation de cette courir est
OÙ c représente l'ordonnée du point le plus bas, et mcg la tension en ce point.
Nous avons aussi (probl. 4)
d'ailleurs, il est clair que, en vertu des données,
Si, dans cette équation, on remplace / par sa valeur
il vient
d'où Ton voit que la plus petite valeur que L puisse admettre correspond à la racine positive de Téquâlion
laquelle est
Ainsi la plus petite longueur du Gi est
STAVIQVE. l47
Supposons maintenant que la longueur L soit donnée, et anpéneore & aoe.
L'équation (3) aura deux racines positites, C] èc c,, l'une supérieure à a. Vautre inférieure \ la plus grande correspond à un état d^équilibre stable, et la plus petite à un état d^équilibre instable. Considérons l'une d'elles C|« L'éqnation de la courbe sera
et nous aurons
où (probl. 4)
tangtp
p = 2TC0S
-f-sinç Il e'^
Par conséquent,
P = mci g' \i -f- f^» / .
Ce problème s'applique à une pièce d'étoffe homc^ène, d'une largeur constante^ que Ton voudrait soutenir sur deux bâtons fixés horizontalement à la même hauteur, dans des directions parallèles.
Annales de Gergonncy t. XJX, p* 389.
6. Un fil pesant et homogène est attaché par Vune de ses extrémités à un point fixe situé au-dessus d\in plan incliné, tandis que Vautre extrémité et une portion du fil reposent sur ce plan. On connaît la longueur totale du
lQ^
l48 MÉCÀHIQUE KÀTIOHIIELLE.
fil, VincUnaison du plan, celle de la tangente à la courbe au point d^ attache, et Von demande la longueur de la portion du fil qui repose sur le plan.
Soient ÂBC le fil dont il s'agit, Â le point d'attache, BC la partie qui repose sur le plan incliné, / la longueur totale du fil, F celle de la partie qui repose sur le plan, a l'inclinaison de ce plan sur l'horizon, et o celle de la tangente k la courbe à T extrémité Â.
L'arc AB appartient à une certaine chaînette ; supposons que cette chaînette soit prolongée jusqu'en un point A situé à la même hauteur que le point A, et qu'elle soit décrite par un fil semblable à celui que nous considérons.
Nous disposons les axes, relativement à cette chaînette auxiliaire, comme dans le problème 4, et nous conservons la même notation ; de plus, nous nommons L le sommet de cette chaînette, et nous comptons les arcs s à partir de ce point.
D'après les formules
ds
la tension au point B est — ^9 et les arcs LB, LA sont * cosa
respectivement égaux à ctanga, ctangf.
Ceci posé, la tension au point B est nécessairement égale au poids de la portion de fil 6C qui repose sur le plan, estimé suivant la longueur de ce plan.
On a donc •
mgt' sm a = — 2. ,
COSflt
c = i'sinacosa,
STATIQCE. 149
d'où
/—/'=::: arcLA — arcLB =: c (tang^ — langa) = /'sinacosa (taog^ — tangoc),
,cosacos(f — oc) /cosf
cosç cosa cos (^ — a)
7. ZT/ie chaùie Jlexible , homogène, mais dUnégale épaisseur, est suspendue par ses extrémités. Déterminer la loi suivant laquelle doit varier Vépaisseur en chaque point, et la courbe que doit affecter la chatne, pour que la tension varie d'un point à un autre proportionnellement à Vépaisseur, ou que la chaîne présente partout égale chance à la rupture.
Conservons les notations du problème 1 , et nommons gd le rapport constant qui existe entre la masse m rapportée à Tunité de longueur et la tension t.
Les formules (3) et (4) du problème 1 nous donnent
ds T dx*
IB=:/«=:WT-7-=: -— ,
dx g ds
dx
OU
si l'on pose, pour abréger, -^ = p.
L^intégrale est
tàgx = arc tang^i
dx
/? = — = tang.wg'x;
nous n^ajoutons pas de constante, parce que nous suppo-
* dy sons rorigine située au point le plus bas où -^= o.
l5o MÉClHIQVB ftAnOBXÎBLLB.
Si Ton intègre la dernière équation, il vient r = — ;~log(cof.«^*),
e cos,»gxz=ii
BOUS n'ajontons pas de constante par la même raison que plus kaiit. .
Celte dernière ^nation est celle de la courbe décrite par la chaîne. On voit qu'elle est composée d'une infinité de branches comprises entre deux asymptotes verticales. Nous n'avons à considérer que la branche comprise entre les asymptotes
JC = 9
ir
Portons la valeur de p dans Téquation
m = ttà
vient
fr)TSéc.Oi>^J?,
ce
! qui fait connaître la tension et l'épaisseur
de la chaîne
en un point quelconque.
Nous avons encore
dx
cos.w^j;
par conséquent, la longueur d'un arc de la chaîne compté a partir du point le plus bas jusqu'au point (x, y) est
I , i-hsin.«>Fx
s = log : 2-?
^(^g ^1 — SUi.OigX
et le poids de cet arc a pour valeur
n9g€U^=zr I — --2 — = Ttang.jwM,
STATIQtTE. l5l
Le rayon de courbure p est donné par la formule
Puisque g = a>^(^y,
± dx
i ds i , t mg
p = 7- = — secoàgx = =. — ^i
•^ »g dx fùg x^g T»*^'
d^où Ton voit qu*en chaque point de la chaîne le rayon de courbure est proportionnel soit à la tension, soit au poids de l'âérnent. On voit aussi qu'au point le plus bas
ce rayon est égal à
FiifCK. et BoBiLLiERy Annolcs de Gergonne, t« XYII, p. 6i.
8. Un fil pesant est attacha par ses deux extrémités en deux points fixes. La masse du fil rapportée à V unité de longueur est proportionnelle, en chaque point, au cosinus de Vangle que la tangente à la courbe fait avec Vhorizon» Trony^er V équation de la courbe.
Soient m = ^ j- la masse correspondante au point
(jr, jr) et T la tension au sommet de la courbe. La courbe est la parabole
Jacquxs Bbrnoulu, Jeta erudii,; Lips.| Jun., Opera^ 1. 1, p. 449' — J^^' BmicouLLiy Opéra, t. III, p. Soi.
- 9. Déterminer la courbe décrite par un fil pesant^ lorsque la masse rapportée à r unité de longueur est pro^ portionnelle à^sincf, n étant positif, et f désignant . rùiclinaison de la tangente sur Vhorizon.
l53 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Si l'on pose
et si Ton choisit une origine telle, que Taxe des x passe au sommet inférieur de la courbe et que y = 00 pour x = o, ou trouve l'équation
Lorsque n est égal à l'unité, la courbe est une hyperbole. Jacques Branoulli, jécta erudit.; Lips», Jun., Opéra ^ 1. 1, p^ 449' — ^^^^ Behnoulli, Opéra, t. lU^ p. 5oi.
10. Un fil pesant ef écrit une parabole du second degré dont l'axe est "vertical. Déterminer la loisuii^ani laquelle varie la masse rapportée à V unité de longueur.
Soit
j:»= 7,ay
l'équation de la parabole.
On trouve, par les formules générales.
Autrement : supposons le fil solidifié entre deux points A et B choisis à volonté. La portion de fil AB est en équilibre sous l'action de son poids et des tensions qui s'exercent aux extrémités *, ces trois forces se coupent donc en un même point. Les deut tensions sont dirigées suivant deux tangentes à une parabole-, elles se coup^ut sur le diamètre qui passé par le milieu de la corde des contacts } par conséquent, le centre de gravité de la portion de fil ÂB se trouve sur ce même diamètre vertical ; c*est-«dire qu'une portion quelconque du fil, considérée en projection horizontale, a son centre de gravité au milieu de sa longueur. Ceci exige que le fil considéré en projection horizontale soit homogène. En d'autres termes, la inasse
STATIQUE. x53
. du fil rapportée à l'unité de longueur vftrie en jraison inverse du cosinus de son inclinaison sur Thorizontale. C'est ce qu^exprime la formule trouvée précédemment. Jban Bbenoulli, OpèrOj t. III, p. 5o4.
\\, Un fil pesant est attaché par ses extrémités en deux points fixes situés sur une même ligne horizontale^ et la courbe décrite est une cycloïde. Déterminer, en un point donné, la masse du fil rapportée à limité de longueur, et trouver le poids de l 'arc compris entre le sommet de la cycloïde et le point donné»
Soient
jr=za [i — cosw)
les équations de la cycloïde, et P le poids cherché.
'^ ' soc'- w
mzr-T ; j P r:^ T lailg - W.
12. Un fil pesant, de longueur donnée, est attaché par son extrémité en un point fixe A, situé sur un plan horizontal et dépoli, tandis que l^ autre extrémité est attachée à un poids posé sur le plan. Entre le poids et le point A est une fente étroite qui permet au fil de pendre librement. Trouver la plus grande distance du poids au point A qui soit compatible avec V équilibre du système.
Soient \k le Coefficient de frottement du poids sur le plan, n le double du rapport entre le poids donné et celui du fil, / la longueur du fil et a a la distance cherchée. • On trouve
2fl = a/(/i-f-l).log , ^ /
x54 MÉGÀHIQVB RATIONNELLE.
43. Un fil pesant est attaché par ses extrémités a deux clous situés sur une même ligne horizontale. On connatt la distance de ces deux supports. Quelle doit être la longueur dufil, pour que la pression exercée sur chacun des deux supports soit un minimum?
Soient a a la distance des supports, / la longueur du filet
t{Kri)
Tëquation de la chaînette.
Si Ton détermine c par l'équation
on a
Prenons, par exemple, an = lo™; nous trouvons
c=r4«,i68... et /=i2»,578
Diarîan ReposUory, p. 644*
L'équation (i) peut s'écrire
n s'ensuit que le produit de la longueur du fil par Técartement des points d'attaché est égal à quatre fois le produit des deux longueurs de fil dont les poids seraient respectivement égaux aux tensions de l'extrémité et du point le plus bas.
14. Un fil pesant^ suspendu par ses extrémités, décrit une courbe représentée par V équation
STATIQ17E. l55
Troui^r le point du fil auquel la masse rapportée à Vanité de longueur est un maximum, et dèternfuner la 'valeur de ce maximum.
Les coordonnées du point chercbë sont
et la masse correspondante est égale â
Dtarian Bepository, p. 435.
15. On suppose une chaîne pesante, homogène, dont les bouts sont fixés aux extrémités A, B d^une tringle horizontale. Vun des chaînons, C, est engagé sur la tringle et peut s'y mouvoir sans frottement. Démontrer que dans Vétat d'équilibre le plus petit des deux Jes^ tons AC, C6, formés par la chaîne, est égal et super^ posable à une portion du plus grand.
SECTION m.
