FIL SOLLICITÉ PAR UNS FORCI CENTRALE
i • Trouver l'équation de la courbe décrite par un fil Fig. a5, flexible, dont toutes les molécules
sont attirées vers un centre fixe.
Soient APP'B une portion du fil; S le centre d'attraction; PP^ un élément infiniment petit du fil;
PT et P^T' les tangentes en P etP';
O le centre de courbure corres- 'S pondant à Pélément PP' ;
p le rayon de courbure pour le même élément ;
l56 MÉCANIQUE nATlOHHELLE.
r la distance du point P au centre d'attraction ;
p la distance ST du centre d'attraction à la tangente au peint P \
T la distance PT :
4» l'angle des deux tangentes PT, P'T';
y l'angle SPT;
Q l'angle que forme le rayon SP avec une direction fixe ;
s l'arc de la courbe compté dans le sens APP^ B \
t la tension du fil au point P \
F la force attractive au même point, rapportée à l'unité de masse;
m la masse du fil rapportée à l'unité de longueur.
Projetons les forces qui sollicitent l'élément PP', d'abord sur le rayon de courbure PO, puis sur la tangente PT.
Il vient
F/wiiîf sinç = (/ -h rfr) sin\{»,
FmV/jcosf = (r -h dt) cos>I< — r.
Comme ou doit négliger les quantités infiniment petites d'un ordre supérieur au premier, ces équations se réduisent à
Ymds%ïï\^ ^=^^>
OU, diaprés les relations «{; = — et cosy = — ?
{a) F/wsinçm-i
(h) Fmdr:=dt.
Si l'on considère le triangle OPP' et le triangle semblable formé par TT' et les deux tangentes PT, P'T', on voit que
STATIQUE. l57
d'ailleurs
T dr
Divisant ces deux équations lune par Tautre, on trouve
r dp
p dr
On a encore
Entre ces deux dernières relations et l'équation (a}, éliminons p et sinf ; nous obtenons
Fmdr-^-^i=Oj P
et si nous retranchons Féquation (&), L'intégrale est
dp dt
\o^[tp) = consl.,
tp = CODSt. =:C;
elle nous montre que le momeat de la tension par rapport au centre fixe est le même en chaque point.
On tire de cette formule, en la rapprochant de Téquation (A),
- — 1 Fmdr.
Cette dernière formule peut être considérée comme Féquation de la courbe rapportée aux coordonnées /? et r; maïs il sera plus commode de prendre les coordonnées polaires r et 6, qui sont liées aux précédentes par la relation
r^dQ
l58 XÉCASIQVV mlTIOSHBLLE.
Il vient
ou
Cdr
C'est Téquation de la courbe en coordonnées polaires, telle qu'elle a été donnée par Jean BemouUi (*).
La formule (b) fera connaître la tension par une simple quadrature, si Ton a soin d^exprimer F et m en fonction de r.
On remarquera de nombreuses analogies entre ces formules et celles qui conviennent au mouvement d'un point matériel attiré vers un centre fixe ; la tension joue le rôle de la vitesse*
Le cas d'une force centrale répulsive n'a pas besoin d'être traité d'une manière spéciale, il suffit de changer le signe de F dans les formules qui précèdent.
2. Un fil homogène et sans poids, retenu par ses extrémités, est attiré vers un point fixe par une force qui est ins^ersement proportionnelle au carré de la distance. Déterminer la courbe décrite par le fil.
Considérons le point de la courbe où la tangente est perpendiculaire à la force d'attraction. Soient r la tension du fil en ce point, c la distance du point au centre d'attraction, et h la force attractive exercée au même point, rapportée à l'unité de masse.
Conservons pour le reste la notation du problème précédent.
D'après l'équation (i), nous avons
Fmdr = I A- — mdr = h const.
(*) 0/wfrtf, t. IV, p. a35.
STATIQUE. l5p
Puisque f doit se rëduire à r, lorsque r = o , la constante est i%ale & t + mkc^ et, par conséquent.
t=:v-h mkc •
Substituons cette valeur dans l'équation (c) \ il vient
Cdr
dB =
• Ht -f- mAc — ^-i- Vr» — CM
Or, lorsque — = o, nous devons avoir r= r; il en résulte C = C7, en sorte que, si nous posons
mkc l'équation de la courbe se réduit à celle-ci,
ncdr
dB =
r [(« -f- i)» r» — 2 ( /i-h I ) cr -f- c»— n^c*] '
Il convient, pour l'intégration, de distinguer trois cas, suivant que l'on a
/f>i, n=:i, ou /i<i.
Premier cas. n > i .
L'intégrale est
n . (n — i)c-\-r ^, '^ — -.arc sm h C.
nr
Si l'on compte les angles à partir du rayon vecteur qui est égal à c, on a
l6o XÉCAHIQVB EATlOnVELLE.
d'où
^ = sm ( ^ )
nr \^ il /
H COS- ô — I
Deuxième cas» tz = i .
L'intégrale est
si ToQ admet que 6 est nul lorsque r = c, on a
Troisième cas. /i < i.
L'intégrale est
si est nul lorsque r = c, on a
d'où
Les trois courbes que nous venons d'obtenir ont des asymptotes faciles à déterminer. En effet, diaprés le problème 1 , on a
CT cr
ne
T -f- IW A'C -
m Xc* c /i-ht
STATIQUE. l5l
Si Ton fait r s= oo , il vient
rtc
