ÉQUILIBRE

1. Un point matériel P éprouve de la part de deux centres fixes A 6£ B des attractions constantes a, et /3. Déterminer sa position d'équilibre.

Soient

AP = r, BP = r', AB = «.

Prenons le point Â pour origine des coordonnées, et la droite ÂB pour axe des x.

Écartons un peu le point P de sa position d'équilibre ; et soient dr'^ dr les variations des distances r, r^«

Nous devons avoir

a^fr-f- p£/r' = 0, où

Substituant ces valeurs, il vient

xdx-^fdf ^ ^ •^(a-^'x)dx-^jrdx

Ici <£r et ^ sont arbitraires, comme le déplacement imprimé-, par conséquent, leurs coefficients doivent être

la.

x8o MÉCANIQUE RATIOltNELLB.

séparément nuls,

OLX p (a — x)

g/ Pr

La dernière équation donne j^ = o, et la première exige que |3 soit égal à a.

Ainsi réquilibre n'est possible qu'autant que les attractions sont égales-, et, dans ce cas, le point attiré peut être placé partout où Ton voudra sur la ligne qui joint les centres d'attraction.

EuLER, Mém, de l'Acad. de Berlin, l'jSif p. i84-

2. Une tige rigide et sans poids AOB appuie son Fig. 27 . extrémité inférieure A contre une rai-

s B nure verticale, porte sur un clou hori-

\^^^\ zontal O, et soutient un poids connu P ^^^^ u à son extrémité supérieure, Détemu-

* ner la position d'équilibre, ainsi que

les pressions exercées sur le clou et sur la ramure.

Soient a la longueur de la tige AB \ b la distance horizontale du clou à la rainure ; x la longueur de la partie AO \

y la distance de l'extrémité B à l'horizontale du support O ;

R la pression supportée par la rainure; S la pression supportée par le clou.

La pression R est horizontale et la pression S est perpendiculaire à la tige.

Supposons que l'extrémité A glisse un peu le long de la rainure sans que la tige abandonne le clou ; alors le mo*

STATIQUE. l8l

ment virtuel de la force R est nul, celui de la force S est un infiniment petit du second ordre, et Ton a simplement

a "— je I r z=z i/x* — A*. dY =L

donc

ab* — a:*=0, xm^tfft*.

Cette valeur de x détermine la position dVquilibre.

Déterminons les pressions : pour cela, faisons glisser la tige le long de la rainure, de manière qu'elle reste parallèle i elle-même. Soit ce le chemin parcouru. Il vient

— Pa-f-S-a:

Nous obtiendrons la pression R, si nous déplaçons la tige dans le sens de sa longueur. Soit (3 le chemin parcouru. Nous avons

d'où

b EvLER, Mém. de VJcad, de Berlirij lySi, p. ig6,

3^ Trois points mobiles Â, B, G sont assujettis à cette seule condition, que le triangle formé par ces points comme sommets reste constamment semblable à luimême. On demande quelles sont les conditions d'équi^

i8a mécaniqxjb hàtionkelle.

libi^ de trois forces appliquées à ces trois points dans le

plan du triangle.

Quand le point C reste iinmobile, deux mouTements sont possibles : ou le triangle tourne sans se déformer autour du point C, ou bien le côlé ÂB se met seul parallèlement à lui-même.

Nommons a et & les côtés du triangle opposés aux sommets Â et B, a et |3 les forces appliquées à ces sommets, m ex. n les angles qu'elles font respectivement avec CA etCB-

Le premier mouvement virtuel nous donne

baÛTim -4- «psin/ï =10; le second donne

boLOOsm -4- apeos/z := o.

Ces deux relations équivalent aux deux suivantes :

La première exprime que les forces sont proportionnelles aux côtés du triangle opposés à leurs points d'application. La seconde exprime que les directions des forces a, j3 se coupent sur le cercle circonscrit au triangle ABC.

Les conditions d'équilibre sont donc que les directions des trois forces se coupent en un même point de la circonférence menée par les trois points donnés A, B, C, et que leurs intensités soient proportionnelles aux sinus des angles du triangle ABC, dont les sommets sont aux points d'application des forces.

Cette seconde condition d'équilibre, eu égard à la pre- I mière, revient à la condition générale d'équilibre entre

I trois forces concourantes^ à savoir, que chacune d'elles