Une barre pesante AR repose tangentiellement sur
Fig. 3o. '^"^ courbe dont le plan est verti"
* cal^ et appuie son extrémité A
contre un plan vertical perpendi'».
culaire au premier^ la courbe est
de telle nature, que la barre reste
en équilibre, quel que soit sonpoint
de contacta On demande de trou"
yer l'équation de cette courbe.
Soient G le centre de gravité de la barre et a la distance du point G à Textrémité A. Prenons la verticale du point A pour axe des y ^ désignons par Xj y les coordonnées du
(•) yoir p. 139, probl. 4.
l88 MÉCIMIQUB RATIONNELLE.
point de contact sur la courbe, et par y^ Tordonnée du centre de gravité de la barre.
La Gëométrie nous donne Téquation
/ dsXdy dy dy
Puisque l'équilibre a lieu, la dérivée de y' par rapport i X est nulle,
Mm
et puisque l'équilibre a lieu quelque soit le point de contact^ cette équation convient à tous les points de la courbe cherchée. Cette même équation se partage en deux autres : Tune,
représente une ligné droite quelconque \ Tautre,
-Mm-"-
a pour intégrale
/-+-(fl^ — jc*y :=coDst.
Si Ton prend pour axe des x la position que la barre occupe lorsqu'elle est horizontale, la constante est nulle, et Téquation de la courbe cherchée se réduit a celle-ci,
Cette courbe est Tenveloppe d'une droite de longueur constante a, dont les extrémités se meuvent sur deux droites rectangulaires.
STATIQUB. 189
10. Un point matériRl^ sollicité par plusieurs forces, est en équilibre quand il coïncide avec le centre de gra^ uiié de poids égaux, placés aux extrémités des droites qui représentent les forces,
LsiBiriTz, Journal des Sapants ^ 1 6g3 ; OperOy t. Illy p. 283.
11. n points matériels fixes. A, B, C,. . •, attirent un point mobile P proportionnellement à la distance. Mon^trer que F attraction résultante est dirigée vers le centre de gratuité des points fixes, supposés de même masse, et qu^elle est proportionnelle à nfois la distance du point P à ce centre de granité,
là. Un système de n points matériels, qui s^attirent proportionnellement à la distance, est en équilibre. Dé^ montrer que V équilibre continuera de subsister, de quel* que manière quon déplace les points, pourvu que la somme
/i2(j:>-hj^»-hz»)--(2x)»— (27)' — (2«)%
relative aux coordonnées de ces divers points, ne change pas de valeur.
13. Une barre ÂB appuie Vune de ses extrémités A contre un plan vertical, tandis que Vautre extrémité B repose sur une courbe; la barre reste en équilibre, quel que soit le point de la courbe sur lequel elle repose. Trouver V équation de la courbe.
Soient a la longueur de la barre et c la distance de son centre de gravite à Textrémité B,
Si Ton prend la verticale du point A pour axe àesy^ et que Ton dispose IWigine de manière que Taxe des x coïncide avec la barre, lorsque celle«'Ci est horizontale^
190 MÉGAIIIQUE EÀTIONITELLE.
équation d'une ellipse.
1-4. Une barre homogène appuie son extrémité infé^ rieure sur un plan horizontal^ et son extrémité supérieure contre un plan vertical; à t extrémité inférieure est attaché un ^l horizontal qui s^ enroule sur une trks-petiie poulie située sous la barre, et supporte un poids Q. Dé' terminer la position if équilibre.
Si Ton nomme Pie poids de la barre et 6 rincllnaison de la barre sur l'horizon, on trouve
Cette équation détermine la position d'équilibre.
15. Un point matériel est attiré par ileux centresjixes en raison inverse du cane de la distance» Trouver l'équation de la surface sur laquelle il faut placer le point, pour quil reste en équilibre»
Soient |x et yi' les attractions des deux centres à l'unité de distance, r et r' les distances de ces centres à un point quelconque de la surface cherchée.
On trouve Téquation
i- -f- i— = const.
16. Une barre homogène AB peut tourner librement autour de son extrémité A comme charnière; à F autre extrémité est attaché un fil qui s^ enroule sur une trèspetite poulie et supporte un poids Q. La poulie est située verticalement au-dessus de t extrémité fixe A, à
tme distance connue &; on connaît aussi la longueur du fil, L Trouver une courbe de telle nature^ quUl suffise de •poser le poids Q sur cette courbe^ partout ou Von vou^druy pour que le sjrstème soit en équilibre. On néglige le poids du JiL
Soient 2a la longueur delà barre, P son poids, p la distance de la poulie à un point quelconque de la courbe cherchée, et B Taogle que ce rayon fait avec la verticale*
L'équation de la courbe est en coordonnées polaires
Pp»-4-2p(2^Qcosô— P/) =const.
Sauveur proposa ce problème à THospital, et celui-ci en donna la solution dans les Acta erudilorum, i^gS, febr., p. 56. Jean Bernoulli iSt observer que la courbe est du genre épicycloïde (ibid.j p. Sp).
Supposons, par exemple, les données telles, que la
constante arbitraire soil nulle. Alors, si nous posons,
pour abréger,
Téquation de la courbe devient
p = 2/ — 2/7 ces 9.
Cest l'équation de Tépicycloïde qu'engendre un cercle de rayon /, roulant extérieurement sur un cercle égal, lorsque la distance du point décrivant au centre du cercle mobile, auquel il est invariablement lié, est égale à p.
Ce problème peut être utile pour la construction des ponts-leris.
SECTION II
STABILITÉ DE l' ÉQUILIBRE.
i* Problème des moindres distances. — Le choix des centres d'administration ou d'approvisionnement, Téta-
Iga MÉCANIQUB BATlOliHCLLE*
blissement des usines, le tracé des routes destinées k relier les grandes lignes présentent un problème qui, pris dans toute sa généralité et réduit à des termes géomé* triques, peut s^énoncer ainsi : Déterminer les positions cTun certain nombre de points, de telle sorte que leurs distances mutuelles et leurs distances à des points don-nés, multipliées respectis^ement par des coefficients con-nus, donnent des produits dont la somme soit la plus petite possible. Ces points peuvent d^ ailleurs être assu* jettis à d"* autres conditions géométriques.
Dans les applications, les coeflScients qui affecteront les distances seront proportionnels à la fréquence des communications^ aux poids à transporter; ils seront inversement proportionnels à la vitesse, à la facilité du transport. Les conditions géométriques se réduiront le plus souvent à placer les points cherchés sur des cours d*eau, sur des routes déjà construites, en un mot, sur des lignes données.
Soient p^ q^ r, etc., les distances, et X, ^, v, etc., les coefficients respectifs. La condition du minimum exige que Ton ait
\dp -f- ^dq 4- '»tir-^. . ,=z o^
pqur tous les accroissements infiniment petits des distances qui sont compatibles avec les conditions imposées. Or cette équation est précisément celle à laquelle on serait conduit, si Von appliquait le principe des vitesses virtuelles à la recherche des positions d^équilibre, en supposant que chacun des points cherchés fût attiré vers les autres points par des forces constantes proportionnelles aux coefficients qui multiplient leurs distances. Les positions cherchées sont donc des positions d'équilibre; de plus, elles sont des positions d'équilibre stable, sinon la somme )/i +fA^ + vr. . . serait un maximum, au lieu
STATIQUE. Ip3
d'être un minimum. Cette observation n'avance en rien la solution analytique, souvent impraticable, mais elle conduit immédiatement à une solution pratique fort ingénieuflije.
Supposons d'abord qu'il n'y ait qu'un seul point & déterminer. Dans un plan vertical, on fixera des anneaux de manière que leurs distances mutuelles soient proportionnelles à celles des points donnés ] par chacun de ces anneaux on fera passer un fil léger portant à l'une de ses extrémités un poids proportionnel au coefficient du point représenté par l'anneau, et l'on réunira toutes les extrémités libres de ces fils sur un même anneau mince, lequel sera libre si le point cherché n'est assujetti à aucune liaison, et, dans le cas contraire, s'engagera sur une tige rigide courbée de manière à représenter la ligne sur laquelle le point cherché doit être situé. Le système abandonné & lai-même se mettra d'abord en mouvement, mais les frottements l'amèneront bientôt a un état d'équilibre stable. Alors l'anneau mobile occupera la position du point demandé.
Cest ainsi, par exemple, que l'on déterminera la position la plus avantageuse à l'établissement d'une station de chemin de fer, destinée à desservir une localité dont' les communications n'ont point la même importance dans les deux directions de la voie.
Si l'on a un second point à déterminer conjointement avec le premier, on doublera le système précédent, en changeant les poids et les positions des anneaux fixes, s'il y a lieu*, puis on attachera au nouvel anneau mobile un fil passant dans le premier anneau mobile, et portant un poids proportionnel au coefficient qui doit multiplier la distance des deux points cherchés. Les positions finales des deux anneaux mobiles seront les positions demandées. On agirait de même pour un plus grand nombre de points. L a* <DiT. i3
194 XÉGÂiriqDE BÀTIOVHBLLE.
Il est a remarquer qu^en variant convenablement les circonstances initiales du mouvement, on pourra obtenir toutes les solutions dont le problème est susceptible.
liAMi et CuLVvmoVy Journal des voies de communieadom; SaiDt-Pctersbourg, 1827, n^ 10.
2. Une barre ÂGB, mobile autour de son extrémité A , est soutenue par un fil qui est attaché à son centre de grai>ité G, passe sur une très'petife pouhe C, et porte un poids Q. La poulie est située sur la verticale de l'extrémité A, à une distance AC égale à celle du centre de gratuité AG. Déterminer la position d^ équilibre stable et celle d^équilibre instable. On néglige le poids dufiL
Soient a la distance AC ou AG, / la longueur totale da fil GCQ, P le poids de la barre, et Tangle ACG on AGC.
La distance du centre de gravité du système à rhorizontale menée par la poulie G est égale a la fraction
P{a +acos29) -f-Q(/— 2acosO)
Cette distance sera maximum ou minimum en même temps que la quantité
PcossO — 2QcosO.
Si nous représentons cette quantité par u, nous avons
dB ^
Cette dérivée doit être nulle pour que l'équilibre ait lieu; par conséquent, dans les positions d^équilibre,
Ô = o ou cos = -—• aP
STATIQUE. igS
. Examinons laqaelle de ces deux ralenrs de l'angle correspojid à l'équilibre stable, laquelle k l'équilibre instable.
On a
2^7 = — 4Pco$20-i- 2QcosO.
Pour la valeur = 0, d*u
de là il résulte que, pour 0=0, l'équilibre sera stable ou instable, suivant que Ton aura
Q<2P ou Q>aP.
Si dans la valeur générale de ^^9 mise sous la forme
dB' ""
(fi » ^ <ci ^^v« w «y
on pose
il vient
rfe» p
C«tte quantité est positive lorsque l'on a Q<^ aP ou, ce qui est la même chose, lorsque Tangle 6 déterminé par l'équation
cose=^ aP
est réel; d'où il résulte que cette seconde valeur de l'angle ne saurait correspondre qu'à un état d'équilibre instable.
