IC = IC

qui entraîne évidemment la conséquence annoncée, puisque les triangles CIC et AOA' ont leurs côtés parai* lèles deux a deux.

Le centre instantané de rotation de la coulisse est à r intersection de la tige de suspension et de la droite qui joint le centre de V arbre au point de rencontre des bielles prolongées.

La vitesse du point E de la bielle est à la vitesse v du point B dans le rapport de lE à IB. D'après les relations (1) et (3), sa valeur est

lE

La composante de cette vitesse parallèle à TE est la vitesse V de la tige du tiroir. Kous aurons sa valeur en

238 HÉCAHriQTJB RiTIOHIIBLLB.

remplaçant dans la valeur précédente la droite lE par sa projection PE sur la direction de la lige^

10. Tracé des engrenages plans. — Un arbre de machine étant animé d^un mouvement de rotation quelconque, on propose de transmettre ce mouvement à un arbre parallèle, par un seul système de roues dentées, de manière que les vitesses angulaires des deux arbres soient à chaque instant dans un rapport donné. Tel est le problème des engrenages plans.

Les roues seront deux cylindres parallèles, qui auront pour axes de rotation les arbres réduits à des droites. Il s'agit de déterminer les bases de ces cylindres^ sur un même plan perpendiculaire aux axes, de manière qu'elles puissent rester tangentes Tune à l'autre, en tournant autour de leurs centres avec des vitesses angulaires qui soient dans un rapport donné.

Soient O, (y les pieds des axes sur le plan des bases; Fig. 4o. ce sont ces deux points que nous

nommons les centres des bases.

Prenons sur la droite indéfinie OCX un point A dont les distances aux deux centres soient dans le rapport inverse des vitesses angulaires correspondantes. De O et (y comme centres, avec OA et O'A pour rayons, décrivons deux circonférences; elles seront tangentes, et si elles tournent autour de leurs centres avec des vitesses angulaires dans le rapport donné, il est clair qu'elles rouleront Tune sur Tautre sans glisser. Seulement, comme le point A admet deux positions, l'une extérieure à la droite finie OO, l'autre intérieure, dans la première

GUfÉMATIQUE. aSg

posilion les circonférences tourneront dans le même sens, et dans la seconde position elles tourneront en sens contraire. La première construction convient à un engre^ nage intérieur, et la seconde à un engrenage extérieur. Comme ce dernier genre est le plus employé, nous le considérerons seul. Au reste, tout ce que nous dirons pourra s^appliquer aux engrenages intérieurs, sans autre modification qu^un changement de direction.

Les circonférences que nous venons de construire se nomment les circonférences primitives de l'engrenage. Il nous reste à tracer les dents de ces circonférences par la condition que deux dents, primitivement en contact, restent tangentes, lorsqu'on fait rouler les circonférences Tune sur l'autre. On peut même supposer que l'une des circonférences reste immobile, pendant que l'autre roule en entraînant son centre ; car rien ne sera changé k la position relative des deux figures.

Ici le problème devient indéterminé^ car on peut se donner a volonté upe courbe M'N' liée à la circonférence (y, déterminer l'enveloppe MN de cette courbe lorsque la circonférence O' roule sur la circonférence O; et alors, si l'on regarde M'N' comme le profil de la dent de la première circonférence, il est clair que MN sera le profil de la dent de la seconde circonférence.

Dans ce roulement de la circonférence (X sur la circonférence O, supposée immobile, le centre instantané de rotation est le point de contact A; par conséquent, la normale abaissée de ce point sur la courbe M'N' la rencontre en un point de la courbe enveloppe MN. De là résulte une construction très-simple de l'enveloppe MN : des différents points C, E', etc., de la circonférence .O' abaissez des normales CD', F/F', etc., sur la courbe M'N', et mesurez les angles y, e, etc., sous lesquels ces normales coupent la circonférence. A partir du point de

24o MÉCANIQUE llATIONIfELLE.

contact A, portez sur la circonférence O des arcs AC, AE, etc., respectivement égaux aux arcs AC^, AE', etc.; par les extrémités des arcs construits, menez des droites qui coupent la circonférence O sous les angles y, c, etc., et portez sur ces droites des longueurs CD, EF, etc., égales à CD', E'F', etc. Les points D, F, etc., appartiendront à la courbe MN. On déterminera de cette manière autant de points que Ton voudra.

La construction précédente peut être abrégée; car, si Ton observe que les droites CD, EF, etc., sont normales à l'enveloppe MN, on voit que, pour tracer cette courbe, il suffit de décrire des circonférences de C, E, etc., comme centres, avec des rayons égaux à CD, EF, etc., puis de tracer la courbe qui enveloppe toutes ces circonférences : ce sera la courbe cherchée.

Appliquons cette construction générale à quelques engrenages les plus employés.

i 1 . Engrenage à lanterne. — Dans ce système d'en- Pig. ^,, grenages, l'une des roues est

^ formée de deux tourteaux TT',

réunis par des fuseaux cylindriques égaux F, F, parallèles à Tarbre et rangés en cercle autour de cette droite.

Ainsi, les dents de la circonférence O' sont de petits cercles égaux M'N', dont les centres sont situés à des distances égales sur la circonférence primitive.

Soit I le centre d'un de ces petits cercles. Lorsque la circonférence O' roule sur la circonférence fixe O, le point 1 décrit une épicycloïde, la normale à cetie épicycloïde est aussi normale au cercle M'N'. Par conséquent le profil MN de la dent correspondante est la courbe

CINÉICÀTIQIJE. a4<

que Ton obtient en portant sur les normales à Tépicycloïde décrite par ]e point I des longueurs égales au rayon du petit cercle M'N'.

On énonce d^ordinaire ce résultat en disant que les dents correspondant aux fuseaux ont pour profils des développantes d'épicycloïdes. Il est clair, en effet, que ces profils ont même développée que l'épicycloïde décrite par le point 1 ^ et comme cette dernière courbe a pour développée une autre épicycloïde (n^ 6), il en résulte que les profils sont des développantes de cette seconde épicycloïde.

Le lieu que décrit dans l'espace le point de contact de deux dents conjuguées est un limaçon de Pascal.

Quand la lanterne est la roue motrice, le fuseau ne peut conduire la dent conjuguée qu'autant que le point de contact des deux dents n'a pas encore dépassé la ligne des centres 00'.

Si la lanterne est la roue conduite, le fuseau n^est conduit par la dent conjuguée qu'après que le point de contact a dépassé la ligne des centres.

12. Engrenage àjlanc. — Engrenage à épicycloïdes. Fig. 4a. — Les profils des dents de Tune

des circonférences primitives sont ses propres rayons.

Soit O'M' un rayon de la circonférence O', qui est profil d'une dent. Amenons l'extrémité M' au point de contact des deux circonférences primitives, puis faisons rouler la circonférence O' sur la circonférence O supposée fixe. Nommons O',, M', les nouvelles positions de O', M', et  le nouveau point de contact. Sur 0',A comme diamètre, décrivons une cir-