Une courbe S roule sur une courbe S' et entraîne
dans son mouvement une courbe S" liée avec elle.
Celles-ci enveloppe dans son mouvement une quatrième courbe S*"^.
Soient :
r, r', r'\ r^ les rayons de courbure des quatre courbes aux points de contact sùnuir tanésf
O, O', 0"j O"^ les centres de courbure;
m le point de contact des courbes S, S';
a la distance mm';
B l'angle OmO".
Démontrer qu'on a la relation
- -h -7 = cos9l -7;-; h^ )•
r r' \r"-4-fl r*^ —■ a J
Le mouvement élémentaire des courbes mobiles S, S' est une rotation autour du centre instantané m, qui fait parcourir au poin t de contact sur chacune des deux courbes deux arcs élémentaires égaux mm^ , mm\ •
Dans ce mouvement, la normale Om^ de la courbe S vient se placer sur le prolongement de la normale 0'm\ k la courbe S'; et la normale O^m^ de la courbe S'' vient prendre la direction de la normale O^'ni^ à la courbe S^.
CIKÉMÀTIQ0B. a4S
Les angles dëcrils par ces deux normales sont égaux, puisque ces deux lignes sont entraînées dans le m^e mouvement de la figure mobile.
L'angle que décrit Om, est égal à la somme
mOmx
-+-/wO'ii/,
ou
tnntx
mmt
L'angle
que décrit (y'mx est la somme
/wO"/w,
-hmO'^m\y
qui a pour
valeur
/yim, cosO
mm xCOsO
/"-ha r" -^a
La* formule proposée s'ensuit.
Celte formule est due à Savary. Elle exprime que les droites 00'', 0'0'''se coupent sur la perpendiculaire élevée au point m à la droite 0''0''', et donne par U une méthode très-simple pour trouver un des quatre centres de courbure quand les trois autres sont connus.
15. Joint universel ou joint de Cardan, — Un axe A Fig. 45. est terminé par une fourchette dont
les extrémités sont articulées sur un anneau aux bouts d'un diamètre BC.
Un second axe A' est articulé de la même manière sur le même anneau aux extrémités d'un diamètre WC perpendiculaire à BC.
Cet assemblage permet aux deux axes de se mouvoir librement dans toutes les directions autour du centre de l'anneau, qui est leur point de cou-
2i6 MÉCANIQUE BATIOHKELLB.
cours oblige. Si Ton maintient les axes dans des directions Gxes, et que Ton fasse tourner Tun d'eux sur luimême, Tautre devra forcément prendre une rotation qui, en général, ne sera pas égale à celle du premier.
Cherchons la relation qui lie les vitesses de rotation simultanées oi), co' de ces deux axes A, A' de directions fixes.
Dans ce mouvement de rotation, les points B, B^ C, C restent sur la sphère qui a pour centre et pour rayon le centre et le rayon de Tanneau. Les points B et C sont assujettis à se mouvoir sur le grand cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe A. De même, les points B', C'ne peuvent se mouvoir que sur le grand cercle perpendiculaire à l'axe A'. Enfin, les points B, B', dont le mouvement nous fera connaître les rotations des axes, sont assujettis i rester à une distance Tun de l'autre égale au quart d'un grand cercle.
On voit que la question est ramenée au problème suivant :
Un arc de grand cercle BB', égal au quart de la cir^ conférence, se meut sur une sphère en appuyant constamment ses extrémités sur deux grands cercles fixes PB, PB'. Trouver le rapport des vitesses w, tù' de ses deux extrémités.
D'après le théorème 4 du chapitre précédent, le mouvement élémentaire de l'arc mobile est ime rotation autour d'un pôle instantané I, qui se trouve à l'intersection de deux arcs de grands cercles perpendiculaires sur les trajectoires BP, B'P aux points B, B'. Les vitesses de ces points sont entre elles comme les distances de ceux-ci au diamètre de la sphère qui aboutit au pôle I :
0» sinBI
^"sÎÏÎbI*
CIHÉMÀTIQITE. ^J^J
Les propriétés des triangles sphériqaes donnent
sinBI sînBB'I __ cosBB'P ^ sinB'I "" sinB'BI ~ cosB'BP*'
et, en nommant |3 et j3' les arcs PB et PB^
Il s'ensuit
cosp =sinp'cosBB'P, cosP'=: sinp cosB'BP.
•» sinap
On peut exprimer ce rapport en fonction d'une seule variable |3.
Soit P Tangle BPB', qui est Vangle des axes ou son supplément.
On a
et, par suite,
rotpcoip' = — cosP,
u I — sin'psin'P
«' cosP
Ce rapport devient infini quand P devient égal à un angle droit; alors la transmission est impossible.
16. Une figure plane se meut dans un plan; on con^ Fig. 46. naîi, à un instant donné, le centre
instantané de rotation C et les cen* très de courbure O, O' des courbe^ décrites par deux des points de la figure »7i, m!. Trouver le rayon de courbure de la courbe déente par un troisième point m".
Soient :
O^ le centre de courbure de la troisième courbe;
a48 MÉCiniQUB RATIOlfirBLLE.
r, r', r" les rayons de courbure Oin, O'm', O^m^-, Pi ^', p" les distances inC,m'C, m'^'C-, c la position infiniment voisine du centre instantané; u^ u\ u" les angles OCc, O'Cc, 0"Cc.
En exprimant que les arcs décrits sont proportionnels aux longueurs des normales abaissées du centre instantané, on obtient les relations
rsinu r' sinu'
r' sinu' r" sinu*^
Comme on connaît la différence u — u\ la première relation fera connaître u et u''^ alors on aura la direction Ce et, par suite, Tangle u''. Substituant les valeurs des angles u' et u^^ dans la seconde relation, on en tirera la valeur du rayon de courbure r^*
On pourra calculer aisément par cette méthode le rayon de courbure de la courbe à longue inflexion et celui de plusieurs autres courbes intéressantes.
A&HocXy Journal de i* École Polytechnique^ XXXV» Cahier, p. 109.
17. Soient O, O', O^'^ trois circonférences tangentes au même point m, et telles que le rayon de la troisième soit égal à la somme des rayons des deux autres.
Supposons d'abord que les deux premières circonférenjces roulent successivement et en sens contraires dans l'intérieur de la troisième. Le point /n, considéré comme appartenant à chacune des circonférences mobiles, dé^ crira la même épicgfcloide dans les deux mouî^emenis.
Supposons maintenant que la circonférence O roule sur l'extérieur de la circonférence O', puis que la circon*
ciNÉMàTiQrB. a49
férence O'^ roule intérieurement et dans le même sens sur la même circonférence O^ Le point m^ dans ces deux moui^enwnis^ décrira la même épicycloïde extérieure à la circonférence O'. Démontrer ces théorèmes.
Ceci montre qu'on n'a jamais à considérer que deux sortes d'épicycloïde^
ECLEA.
18. Deux circonférences égales O, Û' se coupent à angle droit, et une droite mobile égale à la distance des centres appuie constamment ses extrémités sur les deux circonférences. Montrer que le point milieu de cette droite décrit une lemniscate de Jacques Bernoulli, r*= acos a0, dont les foyers sont les centres des deux circonférences.
Conservons la même circonférence O et la même droite \ mais remplaçons la circonférence O' par une autre circonférence concentrique qui passe au centre de la circonférence O. Alors un point pris sur le prolongement ete la droite, à une distance de l'extrémité égale à la lon^ gueur même de la droite, décrira une lemniscate de Jacques Bernoulli^ mais cette fois le centre de la circonférence O sera le centre de la courbe, tandis que celui de Vautre circonférence sera toujours l'un des foyers.
On Toit par là que la lemniscate est un cas particulier de la courbe à longue inflexion.
GAaBONHKLLB^ BuKctîti d*! l'jicad. de Belgique, t. XX, n^ 5.
49. On suppose deux hyperboles équilatères égales, et qui ont d^ abord la position d"* hyperboles conjuguées. ISune d'elles restant fixe, on fait rouler Vautre sur la première. Alors le centre de Vhyperbole mobile décrit une lemniscate de Jacques Bernoulli, dont les foyers coïncident auec ceux de Vhyperbole fixe.
a5o XÉCAHtQUB AATIOHKBLLB.
On établira ce théorème par la méthode employée aa n^ 4, en montrant que, dans le premier des deux modes de génération indiqués au numéro précédent, le centre instantané de la droite mobile décrit une hyperbole équilatère, soit dans son mouvement absolu, soit dans son mouvement relatif autour de la droite mobile.
