CHAPITRE III
MOUVEMENT QUELCONQUE D UN POINT MATÉRIEL Ufiafi.
SECTION I
forces situées dans vv même plait sx dirigées duht mahièeb quelconque.
ConsidëroDS un point matériel qui décrit une courbe plane sous l'action de forces dirigées comme Ton voudra dans le même plan. Si nous nommons x^ y les coordonnées de ce point, X la somme des composantes d^s forces accélératrices suivant Taxe des x^ Y la somme des composantes suivant Taxe des^ et t l'époque considérée, toma les circonstances du mouvement seront amtenuss dans les équations
Cette méthode, qui consiste à décomposer Jes forces aocé» lératrices suivant des axes fixes, et ramène ainsi Tétade du mouvement aux formules du mouvement rectiligne^a été donnée pour la première fois par Maclaurin en 1743} dans son Traité des Fluxions (vol. I, art. 4^5 et suiv.). Avant cette époque, toutes les questions étaient résolues par la méthode des composantes tangentielles et normdes qui, en général, ne se prête pas aussi bien aux transformations de l'analyse, quoiqu'elle dérive plus immédiatement de la nature même du mouvement curviligne. C'est la marche qu'EuIer a suivie dans sa Mécanique, publiée en 1736.
Lai méihod« dcacomposaniea ungMitiolle» et aormali^ est fondée sur deux formules utiles à connaître.
Soient :
f^ la vitesse du mobile en un point de sa trajectoire^
s l'arc de la courbe qui se termine au même point;
p le rayon de courbure ;
T la somme des forces qui sollicitent le mobile^ esti'^ mées suivant la direction de son mouvem.ent;
N la somme des mêmes forces estimées suivant la normale qui se dirige du côté de la concavité de la courbe.
Le mouvement est représenté par les équations
pd» « *^ i« as p
Si Ton remplace dans ces formules — etp par leurs
valeurs bien connues en Xyj^ t et leurs dérivées, on obtient deux équations différentielles du second ordre qui 4ont équivalentes aux équations (A).
1 • Un point matériel et pesant décrit ta trajectoire A6CD; on connaît sa vitesse au point B, estimée sui^ vant une perpendiculaire à la corde BC, et Von demande sa vitesse au point C, estimée suisniiu la mémo ditûc^ lion.
Prenons la corde BC pour axe de5 Xy et la perpendiculaire qui est dirigée de bas en haut pour axe des y. Soient a Tinclinaison de la corde sur Vhorizon, u la composante connue de la vitesse au point B, et Hi la composante cherchée de la vitesse au point C.
Si l'on prend l'instant du passage au point B pour ori-
^94 MÉGÀHI^UE RATIOIIHBUJB.
gine du temps, el que Ton i^it^re deux fois, il vient
^ = «—^cosa./,
jr=zut g cosa./'.
Ces deux équations générales, appliquées au point C de la trajectoire, nous donnent
If, ==a — ^cosa.r,
et Ton en tire
o = ic ^cosa./y
Ainsi, quand un projectile lancé dans le vide coupe une droite donnée en deux points^ il la trai^erse avec des vitesses dont les composantes perpendiculaires à la droite sont égales et de sens contraires.
2. Un point matériel décrit une parabole autour d'un centre de forces situé à P intersection de la directrice et de Vaxe. Troui^er la force qui sollicite le mobile en un point quelconque de sa trajectoire.
Prenons le centre des forces pour origine des coordonnées. Taxe de la parabole pour axe des x, et la directrice pour axe des jr.
Soient p le paramètre, r la distance du mobile à Tongine, et F la force que nous supposerons répulsive.
Le mouvement est représenté par les équations
dt^ ^~^ dt^ '^ r ^
d'où l'on tire
DYNAMIQUE. agS
La constante C représente le double de Taire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps.
D^un autre côté, Téquation de la parabole
nous donne
dy dx
^dï=^'Ti\
d\x dy^ d^x ^'dV '^dF^^'dF'
et si Ton remplace les dérivées secondes par leurs valeurs,
^ ' r dt^ ^ r
Éliminons -^^^-j- entre les équations (i)) (a) et (3)« Il vient
ou, d'après Téquation de la parabole,
3. Un point matériel se meut sous V action de deux centres fixes qui V attirent en raison im^erse de la dis^ tance auec des intensités égales pour des distances égales. Oh suppose que la vitesse du mobile est con^ stante. Quelle peut être dans cette hypothèse sa trajec-toireP
Prenons pour axe des a? la droite qui joi nt les deiix centres, et pour origine le point milieu de cette droite.
Soient a a la distance des deux centres, r et r' les distances du mobile à ces deux points, et fi l'attraction à Tunité de distance..
2Q6 MÉCÀHIQUB aiTIOHVBLLB.
Les équati^s du moavement sont ici
d^x yi a — X
dt* '^ r r
dr r r
De plus,
on a constanunent
dx» ^ dx* dt^ "^ dO "~
const.,
ou, ce qui revient au même,
dxd^x df d*y
dî'dF '^'di'dF'^^'
Si dans cette relation on remplace les dérivées secondes par leura valeurs tirées des équations au mouvement, on obtient Téquation diflTérentielle de la trajec* toire,
(x -h a) dx -h ydx {x — a^dx-^ y^T
LHntégrale est
log[(« -f- fl)' -+-7'] -+- log[(x — fl)' 4-:r'] = consl. = logC*,
Cette équation exprime que le produit des distances du mobile aux deux centres d'attraction est constant. P^ coBséquent, si le mouvement uniforme est possiUe, la trajectoire sera une lemniscate.
QMHd on fait C s= a, réqiubtion précédente représente QMt lemniscate de Jacques BemouUi. On peut vérifier que le mobile décrira réellement cette courbe d'un mou-
▼eiBtiili «nôforme sons Tactioii des denv centres» s^il est laacé suivant la taDgente avec une vitesse égale à 2 i/^ •
4. Un point matériel est attiré par un centre çui sia meut en Ugne droite avec une vitesse uniforme^ et dont le pouifoir attractif est proportionnel à la distance } la ^vitesse initiale du point matériel est dirigée dans um même plan avec la droite que parcourt le centre d^attrac^ tion. Déterminer la position du point matériel à une époque quelconque.
Prenons pour origine la position initiale du centre d*attraction.
Soient a et |3 les projections de la vitesse du centre sur les axes des x et des y^ aelb les coordonnées initiales du point matériel, p sa vitesse initiale suivant Taxe des Xy q sa vitesse initiale suivant l'axe desj^, et fx Tattraction a Tunité de distance.
A Tépoque t les coordonnées du centre d'attraction seront a £ et (3t; par conséquent, si Ton représente par X et y les coordonnées du point matériel à la même époque, on aura
= f*(ar-x),
La première équation peut s'écrire
dHx-^at) , .
—^. .'-+-fA(x-<x/) = o.
Sous cette forme on voit tout de suite que l'intégrale est
x = Acos{t^) -»-Bsm(/^) -+- ar.
2gS MÉCAHfQUB RATEOMVBLLE.
On dëtermine les consumes A et 6 par la condidon que pour f = o on ait
il vient d^où
A = a et B = ^^=r^,
X = « cos (/ ^) -f- ^-^^ sin (/ V^) H- af.
On trouvera de la même manière
^= Jco8(rV?) -^- ^^^sîn(/v^) -f- pf.
5. Un point matériel décrit une parabole sous l'action de deux forces : l'une, parallèle à F axe, est inconnue ^ l'autre, dirigée suivant la perpendiculaire abaissée sur l'axe, est proportionnelle à la longueur de cette per* pendiculaire. On donne la vitesse du mobile au sommet de la parabole, et Von demande de déterminer la force inconnue, ainsi que la position du mobile à une époque quelconque.
Soient P la vitesse du mobile au sommet de la courbe, [k la force perpendiculaire i Taxe pour Tunité de dis* tance, X la force cbercbée, et jr* s^zapx Tëquation de la parabole.
Les équations du mouvement sont
d'y Si Ton multiplie celte dernière équation par a ^ et que
DTEIAMIQUB. ^99
l*on intègre, il vient
D'un autre côté, l'équation de la parabole noua donne
dO "^^ di^ '^^'dF^ et si Ton remplace les dérivées secondes par leurs valeurs^
Cette équation, jointe à l'équation (A), nous fait con- '^ naître la valeur de la force X,
Résolvons la seconde partie du problème.
L'éqoation (A) peut s'écrire
Prenons pour origine du temps l'instant où le mobile passe au sommet de la courbe, et intégrons ; il vient
* = -7:arc8Înî'-T^»
r = -7=8m Vf et, par conséquent,
300 MtCÀlTEQIIB AATIOirHBU.B.
Ces Yalean nous montrent que le mobile otciHe 4c part et d'autre du sommet sur Tare dont les extrémités
AS
répondent a Tabscisse -^—9 la durée d'une oscillation
étant — •
Vf*
6. Une petite bille d'une élasticité connue est lancée au-dessus d*un plan horizontal, dans une direction connue et a^ec une vàesse donnée. Déterminer les points où la bille vieadra frapppr te plan après ses bonds sut* cessifs, la vitesse et la direction de la bille à V instant de ces chocs et les époques auxquelles ils auront lieu. On supposera que la bille est lancée d*un point pris sur le plan horizontal.
Soient:
e Télasticitéde la bille ^
Uo la vitesse initiale;
ii„ la vitesse qui auin^ le mobile immédiatement avant le /i'*"*' choc j
«0 l'angle que la direction de la vitesse initiale fait avec l'horizon ;
0r„ Tangle sous lequel la bille vient frapper le plan horizonul au »'*"•• choc 5
tn le temps qui s'écoule eatre Tinstant du départ et le »**«• choc 5
/„ la distance qui sépare la position initiale et le pomt où le /i**'"* choc a lieu.
La théorie du choc des corps nous donne
«« cosa, = «„, cosa«.t> «M sin a„ = tftti,., sin a,.!.
Si l'on applique ces éq;uations aux chocs suceessi&i on
DTVAMIQXJE. 3oi
tire de la première
(l) ««COSa. =: «iCOSKi = OtCOSOt»
et de la seconde
(2} if« sin «H = 0^* fi| sin ai = 0"-* u* sin a« ;
Jl II. = ii,cosa«[i -f- tf'(»-0 taDg'a«]'.
Ces dernières formules nons donnent la direction et la ▼hesse de la bille à Pinstant du n'*"* choc \ «lies nous permettent de déterminer toutes les circonstances du mourement sur chacun des arcs paraboliques.
D'après les propriétés bien connues du mouvement des projectiles dans le vide, nous avons
La première de ces équations peut s'écrire, en vertu des relations (2),
(3) U — t^x = -ii.$inattf^»;
on en conclut
S 2ir9sina« i — «■
Telle est Fépoque du n**"" choc.
La seconde des équations considérées, eu égard aux relations (2) et (3), peut se mettre sous la forme
2 , . ii'sin2a« .
/, — /^, = - if^cosocsmoctf^' = -= «"-• j
éT g
3oa MÉCANIQUE EÀTIOVITELLE.
on ea tire
C'est la distance du point de départ au point du it''** choc. BonDom, Memorie délia Soeietà lialiana^ t. XVIIy part. J, p. igi ; 1816.
7. Un point matériel est attiré vers deux axes rec^ tangulaires OX, OY par des forces inversement propor^ tionnelles aux cubes de ses dis lances à ces axes. Déter» miner sa trajectoire.
Nous supposerons que le mobile est primitivement placé dans le plan des deux droites OX, OY sans vitesse initiale, et nous prendrons ces droites pour axes coor* donnés.
Soient a, b les coordonnées initiales du mobile, et m^, n^ les attractions des axes OX, OY à Tunité de dis* tance.
Les équations du mouvement sont
, . dKr m* dW (') di^= ^' di' =
elles ont pour intégrales premières
dx* m* djr* «*
