TT ^^ "7 "^ A, -7-7 = — - + B

di^ X* dt* y '

A et B représentant deux constantes arbitraires.

Si Ton détermine ces constantes par les données loi* tiales, il vient

dx* dt^

^*(i^--i)' ^=''*(?-ïî)'

DYHÀMIQUE. 3o3

In tarons une seconde fois, et nommons A', B^ des constantes arbitraires ; nous obtenons

Or, lorsque £ = o, on a

par conséquent, les constantes sont nulles, et les intégrales peuvent s'écrire

Ces expressions de j: et de j* deviennent imaginaires

lorsque t atteint les valeurs — » —> elles ne peuvent donc

convenir après les époques marquées par ces valeurs. Occupons-nous d'abord de la variable x. Pour avoir son

expression après Tépoque f =r— , il nous faut revenir

â l'équation primitive (i), et l'intégrer en déterminant les constantes par les circonstances qui se présentent

a i époque f = — •

Puisque le temps n'entre pas dans la valeur de — que

Ton obtient par une première Intégration, on arrivera encore à l'équation (a)^

rp Vu» — X» = — r -h A'.

Sd4 XÉGÂNIQVB &ATIOVHELI.B.

Si Ton y pose t = — eix = Oj ce qai est la valeur de x

correspondante à cette époque, on trouve

A' = — aqiû,

et comme t doit augmenter lorsque la valeur numérique du radical diminue, il faut prendre A' = — 2a ; en sorte que Ton a

ip a ^fl' — x^ = m*t — 2fl'.

Le radical a le signe inférieur lorsque le mobile s^approche de Taxe des jr-^ il a le signe supérieur lorsqu'il s*en écarte. Élevant au carré, il vient

Cette valeur de jr devient imaginaire lorsque t atteibtla

valeur —T-m*

On verra de même qu'à partir de cette époque jusqu'à Tépoque t = — ;-» la formule qui représente le mouvement

est

fl» (a* — X») = (OT»r — 4fl»)»,

et ainsi de suite.

n résulte de cette discussion que la projection du mobile sur l'axe des x exécute de part et d'autre de Torigine

des oscillations dont la durée commune est — t-> et Tarn-

plitude 2a. Généralement la valeur de x en fonction deX

pour la p'^"' oscillation est donnée par la formule

û»(fl» — x») = [mV— 2(/?— i)tf*p.

Ou trouvera de la même manière que la projection du

DYHÀUIQVS. 3o5

mobile sur Taxe desjr exécute de part et d'autre de l'on*

gine des oscillations dont la durée commune est — ^ » ^^

Tamplitude nb. La valeur de jr en fonction de t pour la çième oscillation est donnée par la formule

i,i (ô» —y^) — [nU —2(7—0 i*f .

Si Ton élimine t entre ces deux dernières équations, il vient

an^l^a^^x' 4- a(/i — i)a] "- bm^ [^6»— j^» -*- 2(7 — i) *] •

Cette équation représente la courbe sur laquelle se meut le mobile à l'époque t^ pourvu qu^on y remplace p par lé nombre entier immédiatement supérieur à

m' !«' i -ha*

— ::zz ~ — %

et g par le nombre entier immédiatement supérieur à

^'^/i» nU -h b* 2b^ là'

On pourra construire les courbes qui correspondent aux diverses valeurs simultanées de;? et de ^; lesinter* sections de ces courbes détermineront la partie de chacune d'elles qui est parcourue par le mobile.

On voit par ce problème que, dans certaines questions de dynamique qui admettent toujours une solution réelle, les intégrales des équations du mouvement peuvent néanmoins présenter des quantités imaginaires qui s'introduisent lorsque le temps dépasse une certaine valeur. Cela !• 3e cdit. ao

3a6 MÉCAHIQVS KATIOirBELLE.

montre que le mouvcmeni ne peut être représenté à toute époque par les mêmes formules. Alors, pour obtenir les formules réelles qu^il faut substituer aux premières^ lorsque celles-ci deviennent imaginaires^ il suffit d^intégrer de nouveau les équations primitives en déterminant les constantes par les circonstances qui ont lieu à rin^ stant oii les premières formules cessent détre réelles.

8. Un projectile est lancé sous une inclinaison con^ nue a, avec une ^vitesse telle, que sa trajectoire passe en un point donné A . On sait que la droite qui joint le point de départ au point A fait avec Vhorizon un angle (3j et que le corps parcourrait cette droite en n secondes s*il se mouvait uniformément avec la vitesse imtiale. Déterminer ^instant auquel le projectile atteindra le point A.

Le temps qui s'écoule entre Finstant du départ et l'instant cherché, exprimé en secondes, est égal a n — -> '^ ° cos«

9. jiu même instant on lance deux projectiles dans un même plan vertical^ avec des vitesses v et v\ sous des inclinaisons a et a\ Outre le point de départ, il est un second point commun à leurs trajectoires^ les deux mobiles V atteindront à des époques différentes. On demande l'intervalle T qui sépare ces deux époques.

Si Ton suppose a ^ «', on obtient

^ 2 pv' s\n(a — a') ^j'cosa-t- p' cosa'

f 0* Déterminer le temps T qu'un projectile emploie à parcourir un arc donné de sa trajectoire parabolique, en fonction des vitesses v et v' aux extrémités de cet arc^ de la vitesse Vt au sommet de la parabole, et de Van-

DTHAMIQUE. 3oj

gle /3 que font entre elles les tangentes aux extrémités de rare.

On trouve

H . Un point matériel décrit une ellipse sous Faction d^unc force perpendiculaire au grand axe. Trouver la force qui le sollicite en un point quelconque de sa trajectoire.

Soient

Féquation de Tellipse, Y la force* cherchée parallèle à Taxe àesjf^ |3 la vitesse constante du mobile suivant Taxe desx.

On trouve

Si l'ellipse se réduit à un eercle de rayon a, la force devient

Newtow, Principia^ lib. I, prop. 8.

RicGATi, Comment. £onon., t. IV^ p. i49» ^l^l»

12. Un point matériel décrit une cjrcloîdesoiis l'ac" ti'on d^ une force parallèle à la base. Déterminer la force qui le sollicite en un point quelconque de sa tra^ jectoire.

Soient

x = a(i — cos9),

^z=a(0-l-sinô) les équations de la cycloïde, Y la force cherchée parallèle

io8 MÊCAMIQOB RATIOHUBLLB.

à Taxe des y^ |3 la vitesse constante du mobile suivant Taxe des x.

On trouve

a(2SuiO — 8in2i6)

1 3. Un point matériel est lancé asfec une vitesse con' nue parallèlement à une droite fixe, vers laquelle il est constamment attiré par une force proportionnelle à la distance. Déterminer la position du mobile à une époque quelconque^ et troui^er V équation de sa trajectoire.

Soient b la distance initiale du mobile k la droite, |3 la vitesse imprimée, p' Tattraction à Tunité de distance. Prenons pour axe des x la droite donnée et pour axe desj^ la perpendiculaire qui passe par la position initiale du mobile.

Nous trouvons

a: p^ > :raoo$(fi/}, d*0Ù

RiGCATi, Comment, Bonon.^ t. IV, p. i55; 1757.

14. I^es données restent les mêmes que dans le ptx)^ blême précédent, si ce n*est que la force d* attraction varie en raison inverse du carré de la distance. Trouver V équation de la trajectoiœ.

Ricc4Tiy Comment, Bonon., t. IV« p. i5g.

15. Un point matériel est lancé dans la direction OX avec une vitesse donnée |3 \ ce mobile est attiré par une

UYSAMIQVE. 309

force proportion9ielIe à la distance vers im centre d^ac^ tion qui se meut uniformément dans la direction per» pendicuiaire OY. Déterminer ta position du mobile quand son mouvement devient parallèle à OY.

Soient a la distance initiale du centre d^action à Torigine O, ^' la vitesse uniforme de ce centre, fx* Tattraction A Tuni-té de distance, et x\jr' les coordonnées de la position cherchée du point matériel par rapport aux axes OX, OY.

On trouve

16, Un point matériel priniitii^ement en repos est abandonné à Faction de deux forces: l'une est constante en grandeur et en direction. Vautre est une force répulsive émanée d^un centre fixe et proportion'nelle à la distance. Déterminer la position du mobile à une époque quelconque^ et trouver V équation de sa tra'jectoire.

Prenons le centre de répulsion pour origine des coordonnées, et disposons les axes de manière que chacun d'eux fasse un angle de 4^ degrés avec la direction de la force constante.

Soient x = a, y=^b les coordonnées de la position initiale du mobile, p* la force répulsive à l'unité de dis* tance et /la force constante*

Si Ton pose -^^ =s m, il vient

ar-4-iit g^*-4-c"-^* ,r-4- m

équations qui résolvent complètement le problème.

3lO XÉGÀZfl^UB EATlOirnELLB.

17, Une petite Ulle d'élatUciié donnée, lancée dmu

Fiff* 47* une direeîien connmt

au-dessus d*un plan incliné qui passe au point de départ, par^ court ce plan en bon-dissant. Déterminer les angles d* incidence et de réflexion aux différents chocs.

Soient e Télasticité de la bille, i rinclinaison du plan, «0 Fangle que la direction du mouvement initial fait avec le plan, «„ et |3„ les angles de réflexion et d'incidence au ^ièm0 ^^Q^ comptés à partir du plan.

On trouve

tanga«=ffUng6« = i — - — '- , ^ .

BoBDom, Memorfe delta Socictà ItoUana^ t. XVII, part. I, p. igt; i8t6.

18. Les données sont les mêmes que dans le problème précédent. On demande de trousser la relation qui existe entre V élasticité de la bille et les portées de trois bonds iuceessifs mesurées sur le plan, et de déterminer la dis^ tance de la bille à son point de départ lorsqu'elle eom^ mence à glisser en cessant de bondir.

Conservons les notations du problème précédent| et nommons i^o 1& vitesse Initiale, Bi, Bt, etc., 'Rn, ^,^.19 Rji+fl ) etc., les portées des arcs successifs, et S la distance de la bille à son point de départ lorsqu'elle commence à glisser; ces disunces Rg, Rt, etc., et S seront positives en remontant le plan et négatives en descendant.

On trouve la relation

R^, (tf ^- ir') R^, ^- i?»R. = o;

d'où Ton voit que les portées des arcs successifs seront ks

BTIUXIQIJB. 3ll

coefficients des pnissaboes snooeMiires de Fiadélerminée z dans le développement de la fraction

suivant les puissances ascendantes de z. Il suit de U, en faisant 2 = 1,

ay^sing^ j cos»tCOs/ __ sjoy^sin/ T "" g:cos»i L " — ^ (•'~^)'j'

et si l'on pose (s ~ e) eoti « cet ^,

^ %v\ sinff»sin6oos(ao + B) f sinicos'p

i9. Un ptojectUe décrit une parabole. Le lieu de Vintersection de deux tangentes à la trajectoire, aux points où les vitesses ont un produit constant, est un cercle dé^ crit du foyer de la parabole comme centre.

20. Plusieurs projectiles P sont lancés en même temps, du même point, aî^c une même vitesse f^^ et dans des directions différentes. Au même instant on laisse tom-her librement du même point un corps pesant p.

Démontrer que les projeetiles P se trouvent à chaque instant sui* une même sphère variable, qui a son centre au point p, et dont le rayon est i^oU 'e temps t étant compté depuis Vins tant du départ,

SECTION IL

FOaOES C£IITftl.LBS.

Un point matériel est attiré vers un centre fixe par une force F constamment dirigée vers le centre et variable

3ia uickmqvE RATifniiiBLX.B.

avec la distance \ on prend pour origine le cenire d^attrae-

Uon, et Ton nomme :

x^ y les coordonnées du mobile; r sa distance au centre d^attraction ; 6 Fangle que le rayon vecteur r fait avec Taxe des x\ P la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente au point de la courbe que le mobile occupe \ p le rayon de courbure ; u la vitesse;

To et 1^0 deux valeurs simultanées des quantités retv] C une constante.

Alors les équations générales « du mouvement sont celles-ci :

On en tire les formules suivantes dont Tusage est tréscommode :

(I) r^dB=zCdi,

(H) Pp = C,

(IV) ^-,\z=^%J\dr,

dt^ di*

?rfp c>

DTSAIUQVB* 3t3

Si la forcé centrale, au lieu d'être attractive comme nous Tavons supposé, était répulsive, il faudrait dans toutes nos formules changer le signe de F, et dans la dernière prendre négatif le rayon de courbure.

L'équation (I) montre que Taire décrite par le rayon vecteur est proportionnelle au temps \ la constante C est le double de Taire décrite dans Tunité de temps. L'équation (II) indique que la vitesse est inversement proportionnelle à la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente. Ces deux propositions, qui se déduisent immédiatement Tune de Tautre, furent établies en premier lieu par Newton dans le livre des Principes (lib. I, prop. i). L'équation (lU J est une conséquence des deux premières. L'équation (IV) montre que Taccroissement du carré de la vitesse ne dépend que de Taccroissement de la distance au centre, quel que soit Tespace parcouru. Cette proposition est encore une découverte de Nev?ton (Principia, lib. I, prop. 4o). L'équation (Y) est due a M. Binet; elle fait connaître la trajectoire lorsqu'on donne la force, ou fait connaître la force lorsque la trajectoire est donnée. L'équation (VI) a été donnée presque en même temps par Clairaut (*) et par Euler {**) ; elle exprime que la force accélératrice dirigée suivant le rayon vecteur est égale à Texcès de la force centrifuge dans le mouvement, supposé circulaire, sur la force attractive. Cette équation se déduit aisément des formules précédentes; car, en tenant compte de la formule (I), on trouve

rfÔ»" "^ "" C' ^ '

(*) Théorie àt lu Urne, p.' a; 1759.

("*) Non Comment Petrop., p. i64; 1753-1753.

3l4 XÉCIVIQQB mAXtOWBLLE.

Portant cette Taleur dans la formulé (V), il vient

équation identique à Tëquation (VI), en vertu de la formule (I).

Au reste on comprend très-bien que, si le mouvement était circulaire, uniîbrmei et ^e la force F fut égale à It force centrifuge de ce mouvement, Taccâération suivant le rayon vecteur serait nulle. Donc, quand la force F t une autre valeur, Taccélération suivant le rayon ▼ecteor est égale et contraire à Texcës de la force F sor cette force centrifuge.

La formule (VII) fut communiquée sans démonstration par Moivre à Jean BernouUi, en Tannée 1705^ oeloi-ei lui renvoya la preuve de la formule dans une lettre écrite de Bâle, le 16 février 1706 (^)» Voici comment on peut la démontrer.

Nommons cp Tangle que le rayon vecteur fait avec k tangente à la trajectoire. On a

j=:Fsinf (p. 393);

dr , ^ dr , ,, .

psin^=rr — smf = P— (p. iS;).

Substituant ces valeurs dans Féquation précédente, il

(») Voir MoiTBB, MiteelL OMlyt,. llb. TUI, 6t itui Bbbmhui, Ùfn*^

vY»àxu^vm. 3i5

vient

P» dr ""pP»'

cé qai est Tëquation de Moivrc»

Laplace a fait une application remarquable de ees for*mules aux réfractions astronomiques, dans le Ii?re X de la Mécanique céleste.

i . Un point matériel décrit une spirale logarithmique sous l'action d'une force constamment dirigée ^ers le pâle. Troux^er l'expression de la force et la vitesse du mobile en un point quelconque de la trofectoire.

Soit

alogr=r0

Tëquation de la spirale. On sait que la tangente fait avec

le rayon vecteur un angle constant (3, qui est donné par

la formule

taiigp=:tf.

La perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente est dès lors la formule (VII) nous donne

Nous pourrons déterminer la constante C, ri nous connaissons la vitesse v^ qui correspond à une valeur donnée r» du rayon vecteur. En effet, diaprés la formule (H), nous aurons

yli-

3l6 XteAlfIQVB BATIO0RBUB.

d*OÙ

La formule (II) nous donne encore la vitesse en on poiiH u|utlcon^e^ la trajectoire,

C nu.

Newton^ Prineipia^ lib. I, prop. 9.

2. Un point matériel décrit une parabole sous Vinfluenee d^un centre d^attraction placé au foyer de U courbe i lorsque le mobile est à une distance donnée du foyer, la force d'attraction rapportée à Vunité de distance est subitement doublée. Déterminer la trajectoire que le mobile va décrire.

Soit ^ le paramètre de la parabole.

Dans la première partie du mouvement, on a, d*aprè» la nature de la parabole^

et, si Pon différentie,

P» rlr

par conséquent (formule Vil),

Oaas U .seconde partie du

moave

F = d'où

aC OrfP

dthamiqub. 3i7

Celte équation a pour intégrale

— — —7- -I- const.

pr a P»

SI Ton désigne par a la valeur du rayon r à Tinstant où la force est doublée, et si Ton observe qu'à cet instant la perpendiculaire P est abaissée sur la tangente commune à la parabole et i la nouvelle trajectoire, on aura, pour déterminer la constante,

— := h const. ;

pa pa

en sorte que la nouvelle trajectoire sera représentée par Féqualion

ai I

pr 2 F' pa

pa 2#i

Cette équation est celle d'une ellipse dont le grand axe est aa, le petit axe v^2/;a, et dont Tun des foyers coïncide avec celui de la parabole.

La dislance de ce foyer au point de contact des deux «!Ourbes est égale au demi-grand axe de Tellipse^ par conséquent, la parabole touche Tellipse au sommet de son petit axe, et la tangente commune est parallèle au grand axe. Cette tangente commune, considérée comme appartenant à la parabole, fait avec Taxe de cette courbe un angle dont le sinus est

2fl'

il s'ensuit que Tinclinaison du grand axe de l'ellipse sur

3l8 m£cA1IIQVB RàTIOraBLLB.

Taxe de la parabole est

arcsin .

3. Un point maténel, soumis à P attraction d^un centre fixcj se meut avec une vitesse inversement pnoportionnelle à la n**"" puissance de sa distance au centre. Trouuer la loi de V attraction et réguation de la trajectoire.

Soit

Texpression de la vitesse.

La formule (IV) nous donne

si Ton diiTérentie, il vient

Telle est la force d^attraction.

Pour obtenir Téquation de la trajectoire, nous nous servirons de la formule (III). Elle nous donne

intégrale i

est

— t)rfO=:-

rfr— »

Çh — i)0 = arccos h const..

mrivAxfQOS. 3 19

ou, supposant que soit nul lorsque r =3 a,

(« — i) ô 1= arc co$ ( - r*^* j — arccos [ - <i"~* ) •

Dans le cas particulier où /i = i, Féquation de la trajectoire devient

Lorsque /i = -9 la trajectoire est une section conique.

RiccATi, Comment» Bonon,^ t. IV, p. i84»

4. Une petite bille j attachée à r extrémité d'un fil très-délié et légèrement extensible^ repose sur un plan horizontal et parfaitement uni^ le fil est tendu dans sa longueur naturelle, et sa seconde extrémité est fixée sur le plan. Le système étant dans cet état, on imprime à la bille une vitesse connue, et dirigée dans le plan hori" zontal suivant la perpendiculaire à la direction du fil. Déterminer Vallongement du fil à une époque queU conque du mouvement, et trouver V équation de la courbe décrite par la bille.

Soient :

m la masse de la bille.;

a la longueur naturelle du fil ;

1^0 la vitesse initiale ;

r = a + X la longueur du fil & Tépoque t\

Tangle décrit par le fil ;

p la tension nécessaire pour faire acquérir au fil la longueur a + P*

Puisque la tension est proportionnelle à rallongement, Peicpression générale de cette force sera^- 'Substituons

3aO MÉCUIIQUB RATIOUVBIXB.

cçtte valeur dans la formule (VI) ; il vient </>r //O» px

et si Ton a égard à la formule (I), //VC px

D'ailleurs^ en vertu de la formule (II),

d'où

d^r de

mp'

di^ "

iiv;

rfx»

flVj

const.

La constante se détermine par la condition que — soit

nul à l'origine du mouvement ; on trouve qu'elle est

égale à v\n

D'après la nature du fil, xet P sont des quantités fort

petites et du même ordre de grandeur; nous pourrons

donc sans erreur sensible réduire la valeur précédente

da^ de — à sa partie principale, qui est du premier degré

par rapport à x et p. Alors il vient

/»% dx^ , ,/ 9.x \ pai?

A=i/il '^

;= i/ — ^arccosl i Ar-î*V

DVniMlQUB. 321

Noas n'ajoatODs pas de constante, car x et £ sont nuls à l'origine du mouvement.

Ainsi nous obtenons

'M'-Wif)}

On voit par cette valeur que le fil reviendra périodiquement a sa longueur naturelle, après des intervalles de temps dont la durée est

Cherchons maintenant Téquation de la courbe décrite. La formule (I) nous permet de substituer dO à dtdaLVi l'équation (A). 11 vient

ou, dans notre degré d^approximalion,

V pu' L '^^< J

m6 pa

f^[— OV^')]-

Telle est Téquation de la trajectoire.

Cette courbe est formée d^ondulations égales et disposées I. a« ÉWT. ai

i2% HÉCANIQUB KATIOfllfELLE.

en cercla ^ chaque ondulation sous-cend un ang^e aneenln

Jacques Bernoulli a commis une erreur dans la solution de ce problème. Il part de Téquation

il^r pj px

dans laquelle p désigne le rayon de courbure de la trajeo*

toire 5 or, entre — et — p qui est le terme correspondant

de Téquation rigoureuse, là dîfîérence est du même ordre quex; par conséquent cette équation n*a pu lui donner une valeur exacte de l'inconnue x.

Jacques Bernoulli, No»a Acta Acad. Petrop.^ 1783, p. 21 3.

5, Un point matériel se meut sous V action d^ une force dirigée vers un centre fixe et fonction de la distance; la trajectoire qu^il décrit est de telle nature, que l'un des rayons vecteurs maxima -est à très - peu près égal au rayon vecteur minimum qui le suit. Déterminer la limite de r angle compris entre ces deux rayons vecteurs lors* quils deviennent égaux.

Posons dans la formule (V)

Jwr^dz^^iz);

alors cette formule devient

OT94VIQUB. 3a3

Ittt^groiu, el nommons a uneconsfante; il Tient

dz dBz=

Les rayons vecteurs maxima ou minima sont les inverses des racines de l'équation

Soient «, |3 les deux racines positives qui correspondent auic deux rayons considérés, et V la limite de l'angle compris «ntre ces deui rayons lorsque ^ devient égal à a.

Cet angle Y est la limite de Tiatégrale

D'après les deux relations

nous avons

~fm

T(PJ-?(«)

n s'ensuit

V— lîtn. 1

*VT(|»)-f(»)

Pour déterminer la limite de cette int^rale, nous

3a4 mAgahique RATioviinxB.

substituerons è la variable z une nonvdle variable u dé* finie par la relation

Alors, si Ton pose u, . (P-«)'[T(P)-y(«)]

on trouTC

Lorsque l'on fait ^ = a, U* prend la forme - ; ma» en

prenant le rapport des dérivées troisièmes du numérateur cl du dénominateur, on trouve que la véritable valear pour |3 =: a est

«' ?'(«)-»/(«)' en sorte que

y,r fH f p rf« r y7«) •]'

U' («)-«?«{.)] Jo H-«'~'^U'{«)-«f'{«)J

Dans le cas où la force est proportionnelle à la n'*^ puissance de la distance ,

Celte dernière formule a été donnée par Newton, dans le livre des Principes (liv. I, sect. ix, prop. 43). On voit que dans ce cas la limite V est indépendante de a. D'ailleurs il est aisé de reconnaître que le cas d*uue force proportionnelle à une puissance de la dislance est le seul où Tangle V soit indépendant du rayon vecteur.

DYJffAKIQUB. 3a5

En efièt, rëquation*

a pour int^rale

B étant une constante arbitraire, et alors

la force est proportionnelle à une puissance de la distance.

Les planètes décrivent autour du Soleil des orbites à peu près circulaires, dont les périhélies sont sensiblement immobiles, et situés à 180 degrés des aphélies; si donc on admet que les planètes sont attirées vers le Soleil par une force proportionnelle à une puissance de la distance, il faut que le degré de cette puissance soit exactement — 3. En effet, lorsque n = — 2, on aV = 7r; et lors même que n différerait très*peu de — a, Y serait assez différent de ff pour qu'il en résulte un mouvement considérable dans les périhélies.

Si Ton avait^ par exemple , n = — a,oi , il en résulterait

le périhélie se déplacerait de 54 minutes a chaque révolution, tandis que les mouvements observés ne sont que de quelques secondes. Ceci confirme la loi de Newton.

Plaka, Note sur1a proposition 45 du P** livi*e des Principes,

6. Une comète décrit autour du Soleil une orbite parabolique dont les éléments sont inconnus. Cet astre a

326 MÉCANIQUB mATlOHKELLE.

été observé en deux points dont on connaU les dUiances au Soleil^ ainsi que la distance mutuelle. Trouver une relation entre lé temps qui sépare les deux observations et les autres quantités connues.

Nous pouvons n^liger la très-petite quantité qui exprime le rapport de la masse de la comète à celle du Soleil. Il en résulte que Taire décrite par le rayon vecteur dans l'unité de temps est égale au produit de la racine carrée du paramètre de l'orbite par une quantité connue, qai est la même pour tous les corps considérés.

Soient

acos' - 9

Féquation de Torbite, r, r' et 6, 0' les coordonnées des deux positions observées, c la distance de ces deux positions, t Tépoque de la première observation comptée i partir de l'instant où Tangle 9 est nul , T le temps qui sépare les deux observations , et A ^ le double de Taire décrite dana Tunité de temps {*).

{*) Dans le calcul des orbites des corps qui font partie de notre système planétaire, on prend ordinairement pour unité de disunce le demi-srand me de l'orbite terrestre et pour vnité de temps le jour solaire moyen* Alors, si Ton nomme T la durée d'une révolution sidérale de la Terre, « Is masse de la Terre et M celle du Soleil, la constante k est égale à

Ts36SI»,95637,

•t U Taleur du rapport — i la plus probable aujourd'hui, est

fêx conaéqueDt on a

La formule ( I ) nous donne

Posons

tang - ô =r e, lang - ô' = e',

et admettons que 6^ soit plus grand que 6. II vient

=^(e'-e)ri-f-e^eH-i(e'--e)'j.

Posons encore

alors

T=^(e'-e)[.>+^le'-»)-]

=#|["-î<»'-)]'-[-ît*-)]'

D*an autre c6té, si Ton projette la distance des deux positions observées sur Taxe de la parabole et sur une perpendiculaire, on obtient

c»=:(r' cosO'— rcosO)»-f- (r'sinO'— rsinO)** Cette relation, jointe aux valeurs

C0S9 = ;» Smô=: -; »

3a8 MÉCAMl^B XAVlOaSBLLE.

nous donne