II

^ cos-Ôcos-O'

par conséquent, dans la valeur de T, on prendra le signe — lorsque ff — 6 <^ r, et l'on prendra le signe -f- lorsque 6' — e>7r.

La formule que nous venons de trouver consdtue un théorème de la plus haute importance pour la détermination des orbites paraboliques des comètes. Il est connu sous le nom de théorime de Lambert^ bien qu'Euler fait établi le premier, dans le septième volume des Mi^cella" nea Berolinensîa (174^)* La démonstration que nous avons donnée est de M. Gaoss ( Tfieoria motûs corponun cœlcstium).

7. Proposons^nous le même problème pourMne oriùm elliptique, ou hyperbolique dont on^ ne connaît qu'un seul élément, le grand axe.

Soil

i + <rcos9

réqaalion de l'orbite, dans laquelle a sera positif pour l'ellipse et n^aiif pour riiyperbole; conservons pour le reste la notation du problème précédent.

On montre dans tous les Traités de Mécanique que, si

Ton pose

r a(i — tfcostt),

on a

/ — —( II — esin«),

A: étant la même constante que dans le problème précédent quand on néglige le rapport de la masse du corps a celle du Soleil. Admettons que les quantités r, u, 0, t se rapportent à la première observation^ les quantités analogues r'j u'j 6'j t' à la seconde observation, et posons

t'- t-zT.

Si nous observons que

sidii' — sina i= ^isiïipcosPi, nous trouvons d'abord

(a) T = îf-[p-ecosp,$in|J].

Noos allons nous procurer deux autres équations entre

33o. MÉcAniQm mmoraELLB.

les qoftiilités connues et les deux inconnues ^ et e cos^t ; alors il nous suffira d'éliminer ces inconnues pour etnenir la relation cherchée.

La formule

cosit' -f-cosii :=aoospcosPiy jointe à Téquation (i), nous donne

(3) r-4-r' = 2«(i — ^cosPiCOSp).

D'un autre côté,

c« = f^ -4- r" — :irr' cos(e' — 0) ;

or Téquation de l'orbite nous donne, en ayant égard à la formule (i),

cos» — e . ^ aJi — ^sin« cosO = a » sinô = — î :

par conséquent,

C» =:4I>(| — . tf cos«)« H- ««{l— tfCOSir')»

— 2fl»(<?— costt)(tf — cosa') — ia*(i--«*)8ÎnBSÎn«' = ^a*(i — €») (i — sîn II sîno') -h «i»^(cos»« -t- cos'a')

— 2a*cosu cosu'

= 2«'(i— tf*) (i — sinssinic' — cosiicostt')

-h a*è* (cosw — cos«')* = 211» (i — e*) (a — 2cos*p) -h fl'tf* (asin^ siopi)',

(4) c> = 4 a» sin>p (i — «» cos»^).

Il s'agit maintenant d'éliminer nos deux inconnues entre les trois relations (a), (3) et (4)»

La seconde de ces relations nous donne

2tf — (r-f-r') ^cosS. = i — j— ^î

vraAMiQVB. 33 1

d'où

Soient

Nous aurons

(«, - «)» = 1^ = 4 lang^p Tcos»? - 2 ^*. -+• »)M ;

remplaçant

tang'fi par ^j

® *^ '^ l-f-COS2p

,^ i-4-cosaB cos'p par i-f

et résolvant Téquation par rapport à cos 3|3> il vient .

cosap=:2».-*-v'(i— z'){i — «;), 2 p = arc cosz — arc cosst ,

et, d'après la formule bien connue