I - . siiio — sîn
iKÙS-^lp — ^1 = — ^ ' 9
^ sin(arccoss) — sinfarccoszi) tta,gp= __
Substituons cette expression dans la dernière valeur deT; il vient ».
(5) T=: — [arccosz— arccosst — sin(arccoss)H-sin(arccosSi)].
CTest la relation chercbëe.
33a xACAMIQttB AATIOy»KLI.B.
Dans le cas de l'hyperbole, z et Zi sont plas grands qne Fanité, en aorte que notre formule se trouve opmpliqttée d'imaginaires ^ pour les faire disparaître il fautremplaœr arecosB et arccos^i par leurs expressions logarithmiques,
arc coss == log {z -+- v^*» — i),
arccoszi =-;=r1og(s, -h ^z\ — l),
et mettre en évidence le signe de a.
On trouve ainsi
T--^yU«"-«q=V^«r=^-log{z-hv/"?^^)±log(e,^
On n'aflecte d'un double signe que les seuls termes en Zi , car T doit être positif, et z est plus grand que Zf Les signes supérieurs répondent à 6' — ^ <C ^) 1^^ signes inférieurs à 9' — e > TT, En effet, pour fl' — fl = o, T doit Être nul et z = «i *, donc, dans ce cas, ce sont les signes supérieurs qu'il fant prendre. De plus, T étant une fonction continue de 6* — 9, les signes des termes en Zi ne peuvent changer qu'autant que ces termes s'annulent, lis s'annulent pour fl' — 6 = tt , et quand 6' — S vient à surpasser ir, les signes doivent changer, car T doit augmenter. Ces formules étant indépendantes de l'excentricité, elles subsistent encore lorsque l'excentricité est nulle, c'est-à-dire lorsque l'ellipse se réduit à une portion de droite limitée aux deux foyers, et Thyperbole à deux demi-droites terminées aux foyers. Ainsi l'on peut dire qu'une planète, pour parcourirdans son orbite un arc dont la corde est c et dont les extrémités sont à des distances du Soleil égales a r et r', emploie un temps égal à celui qu'elle mettrait pour arriver directement vers le Soleil de
DYHAHIQUK. 333
la distance à la distance j si elle
était partie sans vitesse initiale d'une distance égale au grand aice de son orbite.
Comme application, nous calculerons le temps çu*wi corps pesant emploie pour tomber sur la Terre d'une hauteur donnée, en tenant compte de la variation que la pesanteur éprouvée lorsque la distance au centre de la Terre diminue.
Le foyer d'attraction est ici le centre de la Terre, le grand axe aa est la distance initiale du mobile au centre, et la corde c est la hauteur dont le corps est tombé pendant le temps T.
On a donc
rz=zaj r=zn^a — c, zz=: — i, «,:= ;
par suite (formule 5), si Ton suppose que le corps tombe sans vitesse initiale,
^ a* [ c — a ^ liac — i:*!
T = ^[.-.rcco»- + y/-^;— J,
Lambert a démontré le premier cette belle propriété du mouvement dans les sections coniques, que le temps nécessaire à parcourir la distance qui sépare deux points donnés peut s^exprimer indépendamment deVexcen^ tricité (Insigniores orbitœ cometarum proprietates , Aug. Vind., 1761).
Lavlace, Mécanique céleste^ liv.. II, chap. iv, 5 27.
8. Lorsquun corps céleste passe d\me position déterntt'née à une autre position égçUement connue, le rap^
334 HÉGAHIQVB mASlOillfBLLE.
port du secteur décrit par le rofron 'vecteur, au triangle formé par le Soleil et les deux positions données, peut s^exprimer indépendamment du paramètre de Vorhàe. Trouver Vexpression de ce rapport pour les trois espèces d^orbites possibles.
Soient :
r, r' les distances du Soleil aux deux points donnés; c la distance qui sépare ces deux points \ a le demi-grand axe de Torbite ; R le rapport cherché^ et
!2tf
Par des calculs presque semblables i ceux de la question précédente, on trouve, pour une orbite elliptique,
arc cosz — arc cosz, — sin (arc cosz) -*- sin(arc cos»,)^
(i — 2)siD(arccoszij — (i — Z|) sin (arc cosz) '
pour une orbite hyperbolique,
j^___ \^z» — iqi^^F^ — log(g-t-v/g^— ï)±log(z.-h\^zf— i) ,
pour une orbite parabolique,
(r-4-r' + iî) (r-l-r'— c)' Zil(r-h r'- e) (r-h r'-hc)*
Dans les deux dernières formules on discernera lés signes convenables par les règles données aux problèmes précédents.
Gkukbat, Journal de Creile^ tB37, t. XIY, p. ai.
9. Dé%felopper la plus grande équation du centre dans le mouvement elliptique^ suiwmt les puissances ascen-
Dvivofiora. 3S5
dantes de VexcentricUé, et ^excentricité suivant les puissances ascendantes de la plus grande équation du centre»
' On nomme équation du centre VaDgle que forme le rayon vecteur du mobile, avec un rayon qui tournerait d'un mouvement uniforme et passerait aux sommets de la courbe en même temps que le premier.
Nommons n Fangle décrit dans Funité de temps par ce second rayon, et conservons pour le reste la notation du problème 7.
A Tépoque t Fëquation du centre est ëgale à — nr ; son maximum^ que nous représenterons par E, correspond à la valeur du rayon r qui vérifie Téquation
rf(G — 7lf) = 0.
Or
par suite,
d(B — nt) z=z — - — -=== — fi?Ô.
La valeur de r qui annule cette différentielle est
c'est la moyenne proportionnelle entre les deux demi* axes. Les valeurs correspondantes de 9 et de u se déduisent des équations
On trouve
r = — ^t r = tf(i — tfcostt).
1 +ecosO *
COS0= i —y COSUZ=: i •
336 ItéCAHIQUS mAmOMlfELLB.
11 s*agit de substituer ces valeurs dans TëquatioD
(i) E = — /If = — a-Hesin«,
et de développer le résultat suivant les puissances de e. On a d'abord
série convergente, puisque e est inférieur i Tunité. Soit
Le développement qui précède donnera
sinx = — cosO = -Ttf-*-^-«f'H 3 r* -4- . . , .
^ 32 ia8
Si Ton développe par la formulede Maclaurin x = arc sinjr suivant les puissances ascendantes àej' = sinx, il vient
I sîn'x 1 .3 sin^x a 3 2.4
par conséquent,
d*où
. . ^ ir «3 21 , 3400 .
De même, on a
DTHAMIQIIB. 33^
et, si Ton pose j = — r< -f- ->
On tire de là
/Q\ ^ * ir I 37 ^ 2363 .
sin«=co87' = i— "^ H — t-— 7 — ...
Substituant les valeurs (2), (3), (4) dans ré(}uation (1), il vient •
(5) E=2^H.iie»^-j21^4.....
On voit que E change de signe avec e\ par suite e changera de signe avec E, c'est-à-dire que le développement de e suivant les puissances de E ne contiendra que des puissances impaires.
Posons donc
a, bj c, etc., désignant des coefficients indéterminës. Sfibstituons cette valeur dana Féquation précëdentei et
