f- ecosn9 dans laquelle ft, e, h sont des constantes, et
C étant le double de Taire décrite par le rayon Tecteur dans Tunité de temps.
Cette équation représente la trajectoire d'un point qni parcourrait une ellipse en vertu de l'attraction du foyer, pendant que cette courbe, invariable dans sa forme, tournerait autour de son foyer avec une vitesse égale au produit de — 7 — par la vitesse du mobile dans cette ellipse.
Si Ton pose
cette équation représente à peu près la trajectoire de la Lune autour de laTerre supposée fixe. C'est pourquoi Gairaut, qui d'abord avait cru, par suite de calculs incomplets, que la loi d'attraction en raison inverse du carré de la distance ne suffisait pas pour expliquer le mouvement rapide du périgée de la Lune, fut conduit à supposer que, outre l'attraction dont on vient de parler, il existait une autre attraction en raison inverse du cube de la disunce et très-faible. D'après ses idées, cette attraction était insensible pour les planètes à cause de leurs grandes distances, mais elle était sensible pour la Lune vis-à-vis de la Terre, et produisait en partie le mouvement du périgée. D'Alembert était arrivé au même résultat et confirmait Clairaut dans son erreur, lorsque celui-ci reconnut laimème le défaut de ses premiers calculs, et montra que la loi de Newton seule rend compte de toute la vitesse do périgée de la Lune.
23» Un point matériel^ soumis à Vaction d^un centre Jixe qui V attire suivant une fonction de la distance, est lancé dans une direction perpendic u laire au rayon veC'» tcur, avec une vitesse presque égale à celle quil aurait en ce lieu si son mouvement était circulaire. Déterminer Ui valeur du rayon vecteur maximum ou minimum qui se présente en premier lieu après le départ.
Soient :
F = -~^ f ( - 1 rattraction à la distance r;
a la distance initiale du mobile au centre d^altraction ^ a' la valeur cherchée du premier rayon vecteur maxi* mum ou minimum ;
le rapport de la vitesse initiale à celle qui correspond au mouvement circulaire.
On trouve
24. Un corps planétaire, abandonné sans vàesse initiale à V attraction du Soleil, mettra pour tomber sur le centre de cet astre un temps égal à la demi-révolution d^une planète dont l* orbite aurait un grand axe égal à la hauteur de la chute.
On trouve ainsi que la Lune mettrait en moyenne 1 1 5 heures 55 mintites pour tomber au centre de la Terre. G. Santini, Elementi di Astronomiay t. Il, p. 826.
23. Soient p le péiimètre d'aune courbe fermée décrite par un point matériel sous l" action d^ une force dirigée tiers un centre fixe, p le rcrfon de courbure, T le temps
34^ utclViqVE mATIOBSELLE.
de la révolution et de double de Vaire décrite par le roffon vecteur dans r unité de temps. Démontrer quentre ces quantités existe la relation
SECTION III
MOUVEMBirr DAIIS VJX MILIEU RÉSISTAIIT.
1 • Un point pesant est lancé ai^ec une vitesse connue f^o et sous une inclinaison donnée cc^ dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle A la vitesse. Déterminer le temps T nécessaire au mobûe pour atteindre sa plus grande hauteur.
Prenons l'axe des j" vertical et dirigé en sens contraire de la pesanteur; nommons h le rapport de la résistance k la vitesse.
L'équation du mouvement qui doit seule nous occuper est la suivante,
elle a pour intégrale
log (^ -h X j^ I = — X/ -*- const.
Si Ton détermine la constante par les donnée; initiales, il vient
Lorsque le mobile est à sa plus grande hauteur, on a
STVAKIQUS. 347
parconséquem,
T = j log ( i-h - Pt Mna J •
2. Déterminer le mouvement d^ un projectile pesant, lancé dans un milieu dont la résistance est exprimée par a + bu^j a, b désignant des constantes et v la vitesse.
Si Ton prend Taxe des y vertical et dirigé en sens contraire de la pesanteur, les équations du mouvement seront
Multiplions la première équation par â^y et la seconde par d^x^ puis retranchons les produits. Il vient
(iiH- iiH») [dx d^x — ^X ^^^) =^ dsd^x\
d'où Ton tire, en posant
dx ^=2 ds costA ^ dx=zdsfijxtA
et divisant par dt,
d^x 9[a -+- tif^)dt»z=g (costtdir — p un» d^) = g ——9
dl
OU
(i) g cos«i^(""*"*) dp — {a -h g sin») ir-»d» = bd».
Telle est Téquation qu'il s*agit d'intffgrer.
Soit K le facteur par lequel il faut multiplier le premier membre pour le rendre une différentielle exacte. Ce facteur doit être indépendant de v, carie second membre ne contient pas dv] par conséquent, la quantité dont le premier membre sera la différentielle est de la forme [iiT"^ il ne contenant point i'.
348 MÉCAHIQUE HATIOMBLLE.
Egalons la diflerentielle de Clir-" au produit do premier membre par le facteur K ; il vient les deux relations
el
dû. sin &> d^ na c/u
A cos«i g cos«i
OU
dCi na lu oiX
— =—/}<£. logcosft) H ^.logtang ( t '^■-)»
na Û Tz::. C0S~" U . tûDg * ( T H ) "
Il résulte de là que Tintégrale de Féquation (i) est
n rbat
Û ir-« = i
gj cos
ïdf^
cosw
Cette formule subsiste encore lorsque b est une fonction quelconque de co. Si a était une fonction de co, il suffirait
na n /*«</«
de changer tang"^ (^ -f- ^\ on e^*^ ^^*
Ainsi la détermination de la vitesse est réduite à une si mple quadrature .
Pour rendre les formules plus commodes, posons
««ne^i + -) = -;
d'où
ar . r* — i du dr
cos» 1= -~ ) sin«=-- î = — •
r* -f- 1 r' -f- 1 cosw r
Il vient
DTMAHIQUE. 349
Toutes les fois que n est un nombre entier positif, Fintégrale peut s'obtenir sous forme finie.
Supposons, par exemple, - = > la formule devient alors
Maintenant que u est déterminé en fonction de r, il nous est facile de donner les expressions de tj j?, y en fonction de la même quantité au moyen des seules quadratures. En effet, nous avons déjà trouvé les équations rf'.r , , ydx
on en tire aisément d^x
di =
dx=
ds
dt vdsdtù vd^ vdr
dx(a -f- bv^) gdx ^cose* gr
ds d^x ds ,
dt dt dt i^^w ^v^dr
dyzzz [p^dt^ — i/x')^ = — i^^r T-i; — --7-^^ -T
__ ç;i[r^^i)dr
Pour avoir les valeurs de /, x, j, il suffit de substituer dans ces formules la valeur de y en fonction de r et d'intégrer.
Si Ton pose
111=0 et « = 2,
on a les formules que Ton donne dans tous les Traités de Mécanique.
35o MÉCANIQUE mATIOHirBLLE.
La rédaction aux quadratures réussit encore lorsque la résistance est exprimée par la formule
a -h Mogf.
Au reste, cette hypothèse peut se déduire des formules
précédentes, en écrivant a et ~ au lieu de a et &, et
n fi
faisant ensuite n = o. C^est ce que l'on reconnaît facilement, si Ton observe que la Traie valeur de la fraction
pour n = o est logi^.
Jean Bernoulli fut provoqué par Keill à déterminer le mouvement d*un projectile dans un milieu homogène, lorsque la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. H entreprit de résoudre le problème plus général où la résistance est proportionnelle à une puissance quel* conque de la vitesse; bientôt il réduisit la solution a des quadratures, et eut la satisfaction de constater que Keill ne savait point résoudre la question quHl proposait. Ses recherches furent publiées, conjointement avec celles de son neveu Nicolas Bernoulli, dans les ^cta erudiiorum, Lips., 1719) p. 216 ('). Plus tard, Legendre (*) apprit a ramener aux quadratures la détermination du mouvement d'un projectile, quand la résistance est égale a une constante plus un terme proportionnel au carré de la vitesse. On peut encore consulter, sur le problème balistique, Euler (•), Borda (*), Templehoff (•) et Moreau (•).
jAOoai, Journal de Crelle, t. XXIV, p. s5; 184^
(* ) Voir aussi J. Bbrn., Operm, t. II, p. 393. («) Mém. de tAcad. de Berlim, 178a.
(*) Journal de VÊcole Polytechnique, XI« cahier, p. >o4.
DTHA3CIQUB. 35 1
3. Un point matériel se meut dans un milieu résistant sous Vaction d'aune force qui agit toujours dans une même direction. Déterminer la loi de la résistance du milieu, lorsqtCon connaît la trajectoire^ et réciproque^ment, déterminer la trajectoire, lorsqu^on connaît la résistance.
Prenons Taxe des j- parallèle à la force et dirigé dans le même sens ] nommons Xy y les coordonnées du mobile à l'époque t^ s Taxe qu'il a parcouru, T la force qui le aoUicite et R la résistance du milieu.
Les équations des composantes tangentielles eî nor* maies que nous avons rappelées au commencement de ce chapitre nous donnent
p-7 = — R-f-T-f j ds as
p as
1 , ds* d^Y
OU, si Ion remplace p par sa valeur — : -^j
Di£férentions cette équation par rapport & x, en obser-
ds^ dy^ .1 . .
▼ant que ^ = * + ^' " ^'™^
dx" dx ^ dx'dxi d^y V
^— Y^ l — — /—\ ds"^ dx 1 dx dx { d^ 1 '
33a MÉCANIQUE AATlOJIflELLE.
et, d'après la première équalion»
Cette formule résout le double problème que nous noa.< sommes proposé.
CoaoLLAiRE I. — Si Ton suppose en particulier que la résistance soit proportionnelle au carré de la ritesse et à la densité D du milieu, on aura, en nommant y, une constante,
R — pDp>~pDp^ Y, et par conséquent,
T\—— — — ^dx^dx^ d 1 X \
~JIy^~ 2|i ST "y" S^I ^' I
2^ ds dx ^ [ d^y
tl 1 dx* /
Cette formule fait connaître la densité en un point quelconque du milieu, lorsque l'on donne la trajectoire; et réciproquement, elle fait connaître la trajectoire, lorsque Ton donne la densité.
Corollaire U. — Il est aisé de voir que p j- e$t la
demi-corde du cercle de courbure menée par le point (Xyj) parallèlement à l'ave des^; en sorte que, si Fou nomme q cette corde, on aura
Cette formule nous montre que la vitesse dn mobile est ^ale, <en chaque point, k celle qu^il gagnerait en tombant dans le vide d'une hauteur ^ale au quart de la corde de courbure, sous Tinfluence d'une force égale a celle qui le sollicite au point considéré.
La question qui nous occupe a été résolue d'une manière fautive par Newton, dans la première édition du livre des Principes, pour le cas d'une résistance proportionnelle au carré ^e la vitesse; Terreur a été corrigée plus tard sur les indications de Jean BemouUi.
Newton, Principia^ lib. Il, prop. lO.
JiAN Bbemoulli, Àcta erud., Lips., 1718; Opéra, t. I, p. 5i5.
4. Un point matériel se meut dans un milieu résistant sous ^attraction d^un centre fixe. Déterminer la loi de la résistance, lorsque Von connaît la trajectoire ^ et réci-proquement, déterminer la trajectoire, lorsque Von connaît la résistance.
Prenons le centre d'attraction pour origine des coordonnées polaires r et 9; nommons P la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente à la trajectoire, R la résistance du milieu et F la force d'attraction.
Mous avons les équations
D'après la relation p = ''^jp» 1^ seconde équation peut
s'écrire
dr pï — P — F
