COS^ - 9 '^ J
= T0^"S-9^3tang3-ô)
2 V ^2 3 Posons
tang-9 = 0, tang-9' = 0', 1 2
et admettons que 0' soit plus grand que 0. Il vient
Posons encore
H-|(0'-i-0)' = vi2; alors
D'un autre côté, si l'on projette la distance des deux positions observées sur l'axe de la parabole et sur une perpendiculaire, on obtient
e- = (r' ces 9'— /•cos9)2-|- (/•' sin9' — rsin9)*. Cette relation, jointe aux valeurs
cos 9 = — , sin 9 = •
nous donne
'©)= , -i-L[e'^.~@Y'\=p-'i^e'-@Yrr,
, /-l-/-'— c-=/J Vî— -(0'— 0) •
De là il suit
'^ = îf/' t^'" "^ '■' "^ ""^^ "^ ^^'' ~" '"'' ~ ""^^ J ' Telle est la relation cherchée.
Le double signe provient de la quantité y; (©' — B)
qui peut être positive ou négative 5 celte quantité a le même signe que
ces - (Ô' — G)
^ cos - 9 ces - 0'
par conséquent, dans la valeur de T, on prendra le signe — lorsque 9' — Ô <^ 7:, et Ton prendra le signe H- lorsque 6'-0>7:.
La formule que nous venons de trouver constitue un théorème de la plus haute importance pour la détermination des orbites paraboliques des coniètes. Il est connu sous le nom de théorème de Lambert, bien qu'Euler l'ait établi le premier, dans le septième volume des Miscellanea Beroliiiensia [i'jé,'!). La démonstration que nous avons donnée est de M. Gauss ( Theoria motus corpornm cœlcstium).
DYNAMIQUE. 3ig
7. Proposons-nous le même problème pour une orbite elliptique ou hyperbolique dont on ne connaît qu'un seul élément, le grand axe.
Soit
1 + c cos 0
Téqualion de l'orbile, dans laquelle a sera positif pour ï'eilfpse et négatif pour l'hyperbole; conservons pour le reste la notation du problème précédent.
On montre dans tous les Traités de Mécanique que, si Ton pose
(ï) rz=a[i — ccosm),
on a
t = — [u — esinu],
J\ étant la même constante que dans le problème précédent quand on néglige le rapport de la masse du corps à celle du Soleil. Admettons que les quantités r. z/, 0, t se rapportent à la première observation, les quantités analogues ;■', ^^', 6', t' à la seconde observation, et posons
u' U II' -+- Il
t' — tr^T.
Si nous observons que
sin u' — sin u r- ■?. sin jî cos p, , nous trouvons d'abord
(2) T= ^[p — ^^cosp.sinp].
Nous allons nous procurer deux autres équations entre
33o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
les quantités connues elles deux inconnues |3 et ecos|3i : alors il nous suffira d'éliminer ces inconnues pour obtenir la relation cherchée.
La formule
cosm' 4- cosn = 2 cospcosPi, jointe à l'équation (i), nous donne
(3) r' + r'=:2a(i — ecosPiCOS^).
D'un autre côté,
c' = /-2 -I- /-'^ 2r/-'cos(ô' — 0);
or l'équation de l'orbite nous donne, en ayant égard à la formule (i),
cos« — e . „ aJ i — e'sinff
cos9 = a , sinS = — ^ ■:
par conséquent,
c=' = fl^(i — e cos«)^ + a'(i — eeostt')*
— ia- [e — cos«) [e — ces;*') — 2a* (i — e^) siriKsinK' = 2«'(i — e'^) (i — sin« sin«') + «^e'(cos^M 4- cos^m'}
— "xa? cosM ces m'
= 2fl' (i ■ — e') (i — sina sin u' — cosii ces m')
+ «^e^(cos« — cosm')^ = 20^ (i — e') (2 — 2cos^p) -f- a^é^ (2 sin^ sin^i)',
(4) c' = 4a'sin^!3(i — e^cos'Pt).
Il s'agit maintenant d'éliminer nos deux inconnues entre les trois relations (2), (3) et (4). La seconde de ces relations nous donne
tfcosp, = ■ T — ;
20 eosjd
ia-
: fin'i tanpîf
\ 1 rnt;2ft 1 \
Soient
la — c — ir-^r') ia-\-c — (r-\-r')
Nous aurons
(z, - zY = ^^ =4 tang^p fcos^p - 4 (^t + z)^ 5 remplaçant
