I -4- COS 2 S
cos^ P par
et résolvant l'équation par rapport à cos ajS, il vient
ces 2 jB = zz, H- v/ ( I — ^^ ) ( I — z^ ) , 2 p ^ arc cosz • — arc cosz, ,
et, d'après la formule bien connue
I , , sinp — sin7
tang-(p — 7) =
tangp
2 CQSp -\r COS<7
sin (arc cosz) — ■ sin (arc cosz,)
Substituons celte expression dans la dernière valeur de T; il vient
(5) T= — [arccosz — arccosz, — sin(arccosz)-t-sin(arccos3,)]. C'est la relation cherchée.
Dans le cas de l'hyperbole, z et 2i sont plus grands que l'unité, en sorte que notre formule se trouve compliquée d'imaginaires ; pour les faire disparaître il faut remplacer arccos-z et arccoszi par leurs expressions logarithmiques,
-J=log(z -f-v/s' V — I
ice On trouve ainsi
log(z, -f-v/"'-i.
et mettre en évidence le signe de a.
On n'affecte d'un double signe que les seuls termes en Sj , car T doit être positif, et z est plus grand que Zj. Les signes supérieurs répondent à 0' — 0 <^ 7:, les signes inférieurs à 0' — 0^7:. En effet, pour 0' — 0 = o, T doit être nul et z = Zj -, donc, dans ce cas, ce sont les signes supérieurs qu'il faut prendre. De plus, T étant une fonction continue de 6' — 0, les signes des termes en z^ ne peuvent changer qu'autant que ces termes s'annulent. Ils s'annulent pour 0' — 0 =7r, et quand 0' — 0 vient à surpasser 7:,les signes doivent changer, car T doit augmenter. Ces formules étant indépendantes de l'excentricité, elles subsistent encore lorsque l'excentricité est nulle, c'est-à-dire lorsque l'ellipse se réduit à une portion de droite limitée aux deux foyers, et l'hyperbole à deux demi-droites terminées aux foyers. Ainsi l'on peut dire qu'une planète, pour parcourir dans son orbite un arc dont la corde est c et dont les extrémités sont à des distances du Soleil égales à r et /*', emploie un temps égal à celui qu'elle mettrait pour arriver directement vers le Soleil de
DYINAMIQUE. 333
Ja distance a la dislance 5 si elle
était partie sans vitesse initiale d'une distance égale au
grand axe de son orbite.
Comme application, îious calculerons le temps quini corps pesant emploie pour tomber sur la Terre d'une hauteur donnée, en tenant compte de la variation que la pesanteur éprouve lorsque la distance au centre de la Terre diminue.
Le foyer d'attraction est ici le centre de la Terre, le grand axe 2a est la distance initiale du mobile au centre, et la corde c est la hauteur dont le corps est tombé pendant le temps T.
On a donc
par suite (formule 5), si l'on suppose que le corps tombe sans vitesse initiale.
Lambert a démontré le premier cette belle propriété du mouvement dans les sections coniques, que le temps nécessaire à parcourir la distance qui sépare deux points donnés peut s^exprimer indépendamment de l'excentricité [Insigniores orbilœ cometarum proprietates , Aug. Vind., 1761).
Laplace, Mécanique céleste, liv. II, chap. iv, § 2'j.
8. Lorsqu'un corps céleste passe d^ une position déterminée à une autre position également connue, le rap-
port du secteur décrit par le rajon vecteur, au triangle f formé par le Soleil et les deux positions données, peut s^ exprimer indépendamment du paramètre de V orbite. Trousser V expression de ce rapport pour les trois espèces d''orbîtes possibles.
Soient :
7', /-' les distances du Soleil aux deux points donnés ;
c la distance qui sépare ces deux points ;
a le demi-grand axe de l'orbite;
R le rapport clierclié, et
la — c — (r^r') ia -{- c — [r -^ r')
Par des calculs presque semblables à ceux de la question précédente, on trouve, pour une orbite elliptique,
arc cos;3 — arc cosz, — sin (arc cosz) + sin (arc cosz,) (i — z) sin (arc cosz, j — (i — z,] sin (arc cosz) '
pour une orbite hyperbolique,
(z, — i) sjz'— I zp(z — i) siz]— I
pour une orbite parabolique,
(/•+/-'+(?) [r+r'— cy Zi=(^+ r — c) (r+r'+c)^
Dans les deux dernières formules on discernera les signes convenables par les règles données aux problèmes précédents.
Grunert, Journal de Crelle, 1887, t. XIV, p. 21.
9. Développer la plus grande équation du centre dans le mouvement elliptique, suivant les puissances ascen-
DYKAMIOUE. 335
dantes de V excentricité, et V excentricité suivant les puissances ascendantes de la plus grande équation du centre.
On nomme équation du centre l'angle que forme le rayon vecteur du mobile, avec un rayon qui tournerait d'un mouvement uniforme et passerait aux sommets de la courbe en même temps que le premier.
Nommons n l'angle décrit dans l'unité de temps par ce second rayon, et conservons pour le reste la notation du problème 7.
A l'époque t l'équation du centre est égale à 0 — nt-^ son maximum, que nous représenterons par E, correspond à la valeur du rayon /' qui vérifie l'équation
rZ(9 — nt)=:0.
Or
r- d^ z=: na"^ \J i — e'^ dt ;
par suite,
o^ y i — é- La valeur de /' qui annule cette différentielle est
c'est la moyenne proportionnelle entre les deux demiaxes. Les valeurs correspondantes de 0 et de u se déduisent des équations
r=- 5 r = a(i — ecosu).
