Deux points pesants égaux, assujettis à se mou

voir sur la circonférence d'un cercle vertical, partent d^un même point avec des vitesses égales^ mais à des instants différents. Démontrer que la ligne qui les joint après un temps quelconque enveloppe un cercle.

Soit L une droite liorizontale située au-dessus du point de départ à la hauteur qui produiraitla vitesse initiale. Les carrés des vitesses des deux mobiles au même instant sont proportionnels aux distances de ces points à la droite L. Les mêmes vitesses sont proportionnelles aux dislances des mobiles au point de contact de la droite qui les joint avec son enveloppe; car on voit aisément que, lorsque deux cordes d'un même cercle font entre elles un angle infinimient petit, le rapport des segments déterminés sur l'une d'elles par leur point d'intersection est égal au rapport des petits arcs compris entre les deux cordes. Ainsi, les distances des deux mobiles à la droite L sont à chaque instant proportionnelles aux carrés des distances entre les mêmes mobiles et le point où la droite qui les joint touche sou enveloppe.

De là il résulte que la courbe enveloppe est un cercle, lequel a la droite L pour axe radical ('*') conjointement avec le cercle donné.

En effet, soient m, m' deux positions simultanées des

(*) L'axe radical de deux cercles est la droite qui passe par leurs deux points d'interseclion ; cette droite est réelle, lors même que les intersections sont imaginaires. Si les deux cercles sont représentés par les équations

l'axe radical sera défini par l'équation

2aar := rt^ -+- a" — ■h''.

Cette droite jouit d'un grand nombre de propriétés, parmi lesquelles nous citerons la suivante : les tangentes menées d'un même point de l'axe aux deux cercles sont égales et, par conséquent, les produits des segments déterminés sur deux sécantes sont égaux.

DYNAMIQUE. SpS

mobiles 5 A le cercle donné 5 A' un cercle tangent à la droite mm' et tel, que l'axe radical des cercles A, A' soit la droite Lj (^la distance des centres des deux cercles ; i le point de contact entre la droite mm,' et le cercle A'; 777 A, m,' h' des perpendiculaires abaissées de 77^, m! sur la droite L5 7Z le second point où la droite 777/z coupe le cercle A 5 ^, q les points où la même droite coupe le cercle A'.

On a, d'après les propriétés de l'axe radical,

mi = mp.mq = [hp — hrn ) ( htj — hm )

1= hm ( hm — hp — hq -{- hn) ^ iS . hm 5

et de même

Or nous avons déjà prouvé que, si l'on désigne par i' le point de contact de la droite mm! avec son enveloppe, on a la relation

donc les points i, i' se confondent, c'est-à-dire c[ue la droite mm,' est encore tangente au cercle A' dans une seconde position infiniment voisine de la première. Il s'ensuit qu'elle est tangente au même cercle dans toutes ses positions successives.

Si le mouvement est oscillatoire, le cercle enveloppe coupe le cercle donné. Si le mouvement embrasse une révolution entière, le cercle enveloppe est intérieur ou extérieur au cercle donné, suivant que le mouvement des deux points est de même sens ou de sens contraire ; dans

396 MÉCANIQUE KATIONKELLE.

ce dernier cas, nous supposons que les deux mobiles ne se heurtent point.

Partageons le temps d'une révolution complète en intervalles égaux, et lançons un point à chacun de ces intervalles. Les cordes qui joignent au même instant chacun de nos mobiles avec les mobiles adjacents enveloppent toutes un même cercle. De là résulte ce théorème de Géométrie : Si Von peut construire un polygone de n côtés inscrit dans un cercle donné et circonscrit à un second cercle donné, la construction peut s^ effectuer quel que soit le point du cercle extérieur que l'on prenne pour premier sommet.

La propriété du mouvement circulaire qui nous occupe ici est 1 interprétation mécanique d'une propriété des fonctions elliptiques signalée par M. Jacobi, dans le Journal de M. Liouville, t. XI, 1846, p. 10 1. Cette même propriété est démontrée géométriquement dans la Géométne supérieure de M. Chasles, p. 585.

The Cambridge and Dublin Mathematical Journal^ 1854, febr., p. 17.

18. Deux points matériels égaux, qui s^ attirent en raison inverse du carré de la distance, sont obligés de se mouvoir sur deux droites rectangulaires. Trouver le temps nécessaire à chacun des mobiles pour arriver à Vintersection des deux droites, en supposant quils partent du repos.

Le temps cherché est le même pour les deux mobiles 5 si l'on nomme a la distance mutuelle des mobiles à l'instant où le mouvement commence, et p. l'attraction à l'unité de distance, sa valeur est

Vf*

Au reste, quelle que soit la loi d'attraction, pourvu qu'elle ne dépende que de la dislance, les deux mobiles arriveront en même temps à l'intersection des deux droites.

19. Deux points pesants égaux et de même élasticité e sont placés sur un cercle vertical de part et d^ autre du diamètre vertical^ à 60 degrés de distance de son extrémité inféneure; au même instant on les abandonne à leur poids pour les laisser se mouvoir sur la courbe jusqu'à ce qu'ils aient épuisé toute leur vitesse par reflet de leurs chocs successifs. Détenninerla somme des cordes de tous les différents arcs que chacun des mobiles va parcourir.

Cette somme est

a désignant le rayon du cercle.

20. Une petite bille parfaitement élastique, abajidonnée sans vitesse initiale sur un plan incliné, parcourt une longueur donnée, puis rebondit sur un plan horizontal qui fait suite au premier plan. Trouver quelle doit être V inclinaison du plan pour que la portée du bond soit un maximum.

L'inclinaison du plan sur l'horizon doit être

21. Un point pesant glisse sur une droite inclinée . On demande quelle doit être V inclinaison de la droite pour que le chemin horizontal parcouru dans untemps dojiné soit un maximum.

L'inclinaison doit être de 45 degrés.

398 MÉCANIQUE KATIOMMELLE.

22. Sur un plan horizontal et parfaitement uni, un fil très-délié est attaché par l'un de ses bouts au contour d^un cercle fixe situé dans le même plan, et porte à Vautre bout un point matériel. Le fil étant tendu suivant une tangente au cercle, on imprime au point matériel une vitesse donnée perpendiculaire à la direction du fil, de sorte que celui-ci s'enroule sur la circonférence du cercle. Déterminer la vitesse du point à un instant quelconque et le temps qiCil emploiera pour atteindre la circonférence.

Soient /3 la vitesse imprimée, b la longueur du fil, a le rayon du cercle, t^ et T la vitesse et le temps cherchés.

23. Un fil très-délié est attaché par V une de ses extrémités au contour d'un cercle fixe situé dans un plan vertical, et porte un point pesant à son autre extrémité. Le fil étant tendu suivant une tangente au cercle, on imprime au point une vitesse donnée perpendiculaire à la direction du fd^ en sorte que celui-ci s^nr ouïe sur la circonférence du cercle. Déterminer la vitesse du point en un lieu donné, et la condition nécessaire pour que le fil entier s'enroule sur la circonférence.

Admettons, pour nous fixer, que le fil soit primitivement dirigé suivant la tangente au sommet du cercle. Nommons B l'angle déciùt par le fil, et conservons pour le reste la notation du problème précédent.

On obtient l'équation

p^= [i^ H- 2 0'[(é — «9)sinG + a (i — cosô)].

Elle représentera le mouvement, tant que

'''-'-& [b ~ n9)s\n9 restera positif.

Enroulons le fil en le maintenant tendu, jusqu'à ce que l'angle décrit 0 étant arrivé au troisième quadrant, lacjuanûtéa langô soit égale à trois fois la longueur du fil qui n'est pointenroulé. Alors arrêtons-nous, mesurons la hauteur h du point matériel au-dessus de la tangente au sommet du cercle, ainsi que la hauteur H du même point au-dessus de l'horizontale qui passe par l'extrémité inférieure du fil tendu en ligne droite. Pour que le fil entier s'enroule sur la circonférence, il faut que la vitesse initiale soit égale ou supérieure à s/g[ïi-i- 2./1). Cela revient à dire qu'il suffit que la vitesse initiale soit capable de faire franchir la position dans laquelle nous avons amené le point.

24. Uji point matériel, attiré ^wrs un centre fixe proportionnellement à sa distance, est lancé d'un point donné, avec une vitesse connue, le long d'une courbe sur laquelle il doit se mouvoir, et qui est de telle nature, que la vitesse angulaire du rayon vecteur reste constante. Trouver V équation de la courbe.

Prenons le centre d'attraction pour origine des coordonnées polaires r et 0, et nommons a la valeur initiale de r correspondante à 0 = o, j3 la vitesse initiale, fz" l'attraction à l'unité de distance et w la vitesse angulaire.

II vient

arc cos

-hw^

pt-'â

EuLER, Mechan., t. II, p. ï38.

4oO MÉCANIQUE HATIONWELLE.

25. Trouver les courbes tautochrones pour un point matériel qui est attiré vers un centre fixe en raisoji inverse du carré de la distance.

Si l'on conserve les notations du problème 11, il vient

EuLER, Médian.^ t. II, p. 2oq.

26. On donne une série de cercles tangents en un jnême point A et dont les centimes sont situés dans la même direction AO : on place un point matériel au point A, et on V abandonne sans vitesse initiale à l'attraction du centre fixe O. Quelle doit être la loi de rattraction, fonction de la distance, pour quun cercle étant choisi à volonté, le mobile emploie le même temps à parcourir chacune des cordes sur lesquelles on l'assujettirait successivement à se mouvoir?

Ou trouve que l'attraction doit être proportionnelle à la distance 5 toutefois le centre du cercle ne doit pas être situé au delà du centre d'attraction, sinon le mobile ne pourrait pas parcourir toute la corde.

On peut supposer le centre d'attraction situé à l'infini 5 alors la force est constante en grandeur et en direction, et l'on retrouve ce théorème de Galilée : Pour un point pesant assujetti à se mouvoir successivement sur plusieurs droites issues d 'un même point et situées dans un plan vertical, la courbe synchrone est un cercle dont le sojnmet est à l'origine des droites.

RisPAL, Journal de M. Liouville, 1847» ^' ^H? P- 225.

27. On a une série de cjcloïdes issues d^un même point et qui ont une même base horizontale ^ un point pesant est placé sans vitesse initiale à V origine com-

mune et assujetti successivement à décrire les différentes courbes. Déterminer la courbe synchrone , et prouver qu'elle coupe à angle droit toutes les cycloïdes .

Prenons Forigine des courbes pour origine des coordonnées, et la verticale dirigée dans le sens de la pesanteur pour axe des x\ nommons x le temps de la descente et a le rayon du cercle générateur de l'une quelconque des cycloïdes. L'équation de la courbe synclirone résultera de l'élimination de a entre les deux équations

arc ces •> y =- a arc ces \j-a ox — x\

On peut la construire par points d'une manière assez simple.

Jean Bernoulli, Jeta crud., I.ips., 1^97, p. 206.

28. Trouver la brachislochrone pour un point niatèriel attiré vers un centre fixe en raison inverse du. 'Car'ré de la distance.

Conservant la notation du problème 15, on trouve

EuLER, Mechan..^ t. II, p. 191.

29. Un poids pesant est abandonné sans vitesse initiale sur r extrémité d'une cjcloïde dont la base est horizontale. Montrer que, si Von considère le point mobile comme lié au cercle générateur de la cjclo'ide, ce cercle roulera sur la base avec une vitesse an gulaire constante

et e

"gale à \/~-> « désignant le rayon.

30. Un pentagone ABCDE est situé daj% un plan vertical, le côté inférieur CD est horizontal. Montrer