I. 2* ÉDIT
que les temps quwi point pesant emploierait à descendre le long des droites BC, AC, YjQ forment une progression géométrique.
31. Supposons une hyperbole équilatère dont Vaxe transverse est 'vertical, et une circonférence décrite sur cet axe comme diamètre.
La somme des carrés des temps quun point pesant met à descendre le long des deux droites qui joignent un point quelconque P de la circojiférence à deux points de Vhjperbole situés sur une même horizontale^ est indépendante de la position du point P sur la circon-
férence j elle est égale au produit de - parla distance de l'horizontale au centre de la courbe.
SECTION H
PRESSION EXERCÉE SUR UNE COURRE PLANE PAR UN POINT MATÉRIEL EN MOUVEMENT.
Un point matériel est assujetti à rester sur une courbe fixe et plane. Soient :
R la réaction de la courbe sur le point ;
X, Y les composantes des forces molrices suivant les axes 5
N la composante normale des forces motrices estimée en sens contraire de la réaction;
p le rayon de courbure.
La masse étant égale à l'unité, on a
, dx ,. dj , i ds- , v''
ds ds p dt' p
On prend le signe supérieur quand le point se meut sur
DYNAMIQUE. 4o3
le côté concave de la courbe, el le signe inférieur quand il se meut sur le côté convexe.
Cette formule fut donnée en premier lieu par l'Hôpital (*), à l'occasion du problème de la courbe d'égale pression.
1. Un point matériel, assujetti à rester sur le côté concave dune hyperbole, se meut sous V action des deux foyers qui V attirent en raison inverse du carré de la distance. Déterminer la réaction exercée par la courbe.
Soient :
^, p.' les attractions des foyers à l'unité de distance 5
/', r' les deux rayons vecteurs -,
To, r[ leurs valeurs initiales 5
a, h les deux demi-axes 5
çi l'angle que le rayon r fait avec la tangente à la courbe 5
pQ la vitesse initiale.
Nous supposons que le mobile parcourt la branche voisine du foyer auquel se rapportent les lettres dépourvues d'accent, et s'approche du sommet.
Nous avons
^.)==2ii + ^^^'
en outre la Géométrie nous donne
(*) Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris ; 1700, p. 9.
( *" ) Cette relation consiste en ce que la corde du cercle de courbure qui
2 rr ' coïncide avec le rayon ;■ est égale à • On peut la démontrer aisément,
soit par l'analyse, soit de la manière suivante.
Nommons 6, d' les angles que deux rayons vecteurs, ;•, r', menés an
4o4 MÉCANIQUE RATIONNELLE,
par conséquent,
— la
ou, d'après la relation r' — /• = ia = r\ — Tq ■>
R — tJl t^
Si la vitesse initiale est nulle, et qu'à Torigine du mouvement les deux attractions soient égales,
alors la réaction est nulle, c'est-à-dire que le mobile, s'il était libre, décrirait encore l'hyperbole.
même point m, font avec la direction du centre, et i l'angle de la normale au point m avec une normale infiniment voisine.
ds
p=— » i,\nn^ds-=rdd^=r' do'.
De plus, quand les deux côtés d'un angle tournent en sens contraires de quantités représentées par dd et dd', la bissectrice de cet angle tourne de
de — de'
la quantité » quelle que soit d'ailleurs la translation du sommet;
donc
dO — dû'
On tire de ces équations
sin 93 ds
p sjn » =: ' = — ; = — •
r ;•' La même formule subsiste pour l'ellipse; pour la parabole elle devient psin9 = 2r.
On voit que dans tous les cas la réaction est inversement proportionnelle au rayon de courbure. Cette circonstance se présentera toutes les fois que, sans rien changer aux forces motrices, on pourra disposer des circonstances initiales, de manière que le mobile décrive librement la courbe donnée.
En effet, dans la valeur
dx dr , V-
R--=Y— -X-f zb-,
ds ds p
les données initiales n'influent que sur un terme constant
qui fait partie de v~ 5 d'où il résulte que, si l'on a R = o
pour de certaines données initiales, pour d'autres données
on aura
const.
2. Déterminer dans un plan 'vertical une courbe telle, quun point pesant assujetti à descendre le long de celte courbe exerce à chaque instant une même pression.
On donne la pression R, la vitesse initiale v^ et l'angle a que fait la verticale avec la tangente à la courbe au point de départ.
Soient pris l'origine au point de départ et l'axe des x dirigé dans le sens de la pesanteur.
On a
ds [■ v^ = igx H-cJ;
et, si l'on prend l'arc s pour variable indépendante.
1 d'^ y dx
û ds' ds
4o6 MÉCANIQUE RATIOMNELLE.
Eliminant p- et p, il nous vient l'équation
R dx , ^ d^y g dy dx
S/2^X + V\ ^S " ds' y/2g-,i. + „2 ds ds
qui a pour intégrale
— V2^x + c„ = \/2g-jc H- c„ - — h const.
La constante se détermine par la condition qu'à l'origine — soit égal a sina; ainsi
dy R Co R — g sin a
ds
Introduisant la coordonnée x au lieu de Tare 5, et posant
— = A, — (R — g' sina) := B, et 2 g'.r + c ^ = 3% S" . ê*
on arrive à l'équation
{kz — ^)zdz
Sdy =
\/(i — A^)z2+ 2ABz — B^'
qui peut s'intégrer en quantités finies, mais dont l'intégrale est trop compliquée pour avoir quelque intérêt.
Le problème de la courbe (inégale pression pour un mobile sollicité par la seule force de la pesanteur fut proposé par Jean Bernoulli (*), et résolu, par l'Hôpital i^*). Commerc. epistolic. Leibnitzii et Bernoulli, epist. vu.
3. Sur une courbe située dans un plan vertical on lance un point pesant assujetti à la parcourir, et Von demande de déterminer la courbe de manière que la
(*) Acta erud., suppl., t. II, sect. vi, p. 291.
{*■*) Mém. de l'Acad. des Sciences de Paris, 1700, p. 9.
DYNAMIQUE. /lOH
pression soit proportionnelle à la n''""-' puissance de la distance à Vliorizontale d^ oîi le mobile aurait dû deS" cendre pour acquérir au point de départ la r<itesse qiCon lui a donnée.
Prenons pour axe des j l'horizontale dont il s'agit, pour axe des x la verticale dirigée dans le sens de la pesanteur, et nommons Kx" la pression à la distance x.
Nous avons
dy igx
Ys.x"z= g
ds p
d'où
P ~" i ^ "^ dy') ■ dy^
[ dx'\ ' / dx^\ ■ d^a
" V ^JV V ^JV dy^
dx I dx"^ \ ' -Ir dx
Kx - - = „.!, + - . ^^
L'intégrale est, sans constante,
in-
dx''\ ' ~ dx d'^x (fy'l ' dy dy-'
dx'' 'dy''
OU, si l'on pose ^ -■=. a.
Ainsi on arrive à une différentielle binôme qui, comme l'on sait, peut s'intégrer sous forme finie toutes les fois
que — est un entier, ou un entier augmente de -•
4o8 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Si l'oD avait ajouté une constante dans l'intégration, l'équation finie de la courbe n'aurait pu s'obtenir que dans un très-petit nombre de cas, outre ceux que nous avons indiqués.
Examinons quelques cas particuliers.
71 = I . — On trouve un cercle qui a son centre sur l'axe des y et dont le rayon est égal à 3«.
n=- — I . — On trouve une chaînette
la '
« = -• — On trouve une cjcloïde dont la base esE
l'axe des y et qui a le rayon de son cercle générateur égal à 2rt^.
n=i. — La formule (A) devient l'équation de la courbe élastique de Jacques Bernoulli ('*'), ainsi nommée parce qu'elle représente la figure d'un ressort en équilibre sous l'action de certaines forces.
Dans ce cas l'intégrale dépend des fonctions elliptiques.
Vabignon, Mém. de l'Acad. des Se. de Paris, 17 lo, p. i5g.
4, JJn point matériel assujetti à rester sur une courbe donnée se meut sous V action d^ une force de direction constante. Trouver quelle doit être la loi de cette force, pour que la pression exercée sur la courbe soit la même en chaque point.
Prenons l'origine sur la courbe au point où le mouvement commence, et l'axe des x parallèle à la force dont on cherche l'expression. Soient X cette force, t^o la vitesse à l'origine et R la pression constante.
( *) Àcta crud., Lips., 169/1, p. 272; 1695, p. 538.
dr v"-
K = X -f -+- - , as p
' i d'^r dx
' p ds'' ' ds
Éliminant p et v, il vient
dr , d^r ^, dx dr d
ds " c?*- ^^ ds d.
'^jy^'
dy et si nous intégrons après avoir multiplié par — ds,
^ ■ rd.Tdr , I .. dr' dj' f ^ ^ J ds ds 2 " ds^ ds'' J^
Soit p la dérivée — tirée de l'équation de la courbe. L'équation précédente peut s'écrire
(A) f Xr/^= — -c= + K(-^-f-i) ( /---^-^-. + const. ];
sous cette forme, sa différentielle relative à x nous donne l'expression de la force cherchée,
— + const.
K , -xY.dp r pdx
La constante se détermine en posant x = o dans l'équation (A) 5 elle est donnée par l'équation
(C) 2K ( -^ H- , ) (" f-^^^^ + const,
I \^ f ^ pdx
lorsqu'on y fait a: = o.
Supposons que la courbe donnée soit la parabole
x^ = ajr;
4lO MÉCANIQUE RATIONNELLE.
il suffit de poser p =^ -^ dans les équations (B) et (C), et l'on obtient
Si la courbe donnée était la cycloïde
y =^ a arc ces — ■ — sjiax — x'^ ,
on trouverait de la même manière
Dans ces deux cas particuliers la force est indépendante de la vitesse initiale.
EuLER, Mechan., t. II, p. loi et suiv.
5. En un lieu donné sur le côté cons^exe d\ine ellipse dont le grand axe est vertical, on pose un point pesant^ puis on l'abandonne à son poids. Déterminer le point où le mobile abandonnera la courbe.
Prenons l'origine à l'extrémité supérieure du grand axe et l'axe des x dirigé dans le sens de la pesanteur. Soient 2 a le grand axe, aè le petit axe et x^ l'ordonnée initiale.
L'ordonnée correspondante au point cherché est déterminée par l'équation
Si l'ellipse se réduit à un cercle de rayon «, l'équation devient
FoNTANA, Memorie délia Societli Italiana ^ 1782, p. lyS.
DYNAMIQUE. 4ll
6. On suppose un cercle ^vertical et un point pesant situé dans son intérieur; du sommet on lance le point le long de la courbe avec une vitesse donnée, et l on demande la pression quil exerce sur la courbe.
Soient <2 le rayon, Vq la vitesse initiale et Q l'angle au centre décrit par le mobile.
On trouve
Yi =z -± -^ g [i — 3cos9 .
Si la vitesse initiale est telle, qu'au premier instant la pression soit nulle, alors v^ = ag,
R— 3g-(i — cosô), et lorsque 0 = tt,
c'est-à-dire que le mobile arrivant au bas du cercle exerce une pression six fois égale à son poids.
EuLER, Médian. f t. II, p. 65, coroll. vu.
7. Un point matériel, assujetti à rester sur une ellipse convexe, se ment sous V action de trois forces : la première est dirigée vers le centre et proportiojinelle à la distance ; les deux autres sont dirigées vers les fojers et inversement proportionnelles au carré de la distance. Déterminer la réaction de la courbe sur le point.
Soient p., p', II" les attractions des foyers et du centre à l'unité de distance, « le demi-grand axe, Vq la vitesse initiale et /'o, r\ les distances initiales aux foyers.
On trouve
cir„ ar ^ '
Or, si l'on nomme Vq, v\, v"^ les vitesses initiales qu'il faudrait imprimer au mobile supposé libre pour qu'il décrivît l'ellipse sous l'influence de chacune des trois forces
4l2 MÉCANIQUE RATIONKELLE.
prise isolément, on a
ar,
ar,,
par conséquent le mobile décrira librement la courbe sous l'influence des trois forces réunies, quand on aura
Cela résulte de la remarque faite au problème 1 [voir p. 342 , prob. 19).
INotre formule première et la remarque citée nous donnent immédiatement un théorème général qui trouve ici son application.
Si plusieurs masses ni, m', m" , etc., respectii^e?nent soumises à V action des forces F, F', ¥", etc., et partant d^un même point A avec des vitesses v^, i^'^ , i^"^ , etc., de grandeur différente mais de même direction, décrivent la même courbe ACB 5 la masse quelconque M, soumise à V action de la résultante des forces F, F', F^', e^c, et partant du point A avec une vitesse Vo ayant la même direction que les vitesses t^o 5 ^'o 5 ^'1» etc., décrira encore la courbe ACB, pourvu que les forces F, F', F'', etc., soient indépendantes du temps, et que la force vive initiale MVj de la masse M soit égale à la somme
im>i H- in'v'^- -f- m" v"^"- + . . .
des forces vives initiales des masses m, m\ m", etc. (*).
En effet, considérant chacune des masses m, m', m",..., M comme assujettie à se mouvoir sur la courbe ACB, nous aurons, pour chacune des premières masses, une équation de la forme
o=Y— — X^dz^.
ris ds p
(*) OssiAN BOKNET, Joumal de M. Liowille, t. IX, p. ii3.
Ajoutant toutes ces équations, la somme des seconds membres représentera la réaction de la courbe sur la masse M; or cette somme est nulle, par suite la masse M décrit librement la courbe.
8. On a une ellipse dont le grand axe est vertical et un point pesant situé dans Vintérieur à l'extrémité du petit axe; on se propose de lancer le point 'verticalement de bas en haut, de manière qu après avoir quitté la courbe il passe au centre. Déterminer la vitesse de projection.
Si l'on nomme aa le grand axe, -xb \e petit axe et p'o la vitesse cherchée, on trouve
9. Sur une courbe située dans un plan vertical on lance un point pesant assujetti à la parcourir, et l'on demande de déternnner successivement cette courbe :
i*^ De manièj'e que la pression due à la seule force de la pesanteur soit proportionnelle à la n"""" puissance de la distance actuelle du mobile à l'horizontale d'où il aurait dti, descendre pour acquérir au point de départ la vitesse quon lui a donnée y
2** De manière que la pression due à la force centrifuge soit proportionnelle à la n"""" puissance de la même distance;
3** De manière que la pression due à la force centrifuge soit dans un rapport donné n avec la pression due à la pesanteur.
Prenons l'axe des x dirigé dans le sens de la pesanteur, et l'axe des y dirigé suivant l'horizonlaîe dont on a parlé.
4l4 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
i'' Soit Ko:" la pression due à la pesanteur pour une distance x de l'axe des y. Posons
K Il vient
dy (a- — x"'^y z=i .r" dx.
2° Soit Kt" la pression qui est due à la force centrifuge et s'exerce à la distancer. Posons encore
Il vient
dy [^a^n- — .r-") * = x"dx.
3° Soit a une constante arbitraire.
dy ( a" — ■ x"Y =: jc^ dx.
Ces formules sont presque en tout semblables à la formule (A) du problème 3; en sorte que ce dernier problème et les trois questions qui nous occupent conduisent aux mêmes courbes, sauf de légers changements.
Varignon, Mém. de l'Acad. des Se. de Paris^ Ï710, p. i56 et suiv.
SECTION m.
MOUVEMENT d'uN POINT MATÉF.IEL SUR UNE COURBE PLANE DANS UN MILIEU RÉSISTANT.
1. Proposons-nous d^ étudier le mouvement. d\in point pesant sur une cjcloïde dans un milieu dont la résistance est proporLionnelle à la vitesse. Nous supposons Vaxe de la cjcloïde vertical et la concavité tournée en haut.
Prenons l'origine au sommet de la courbe qui est le point le plus bas, et l'axe des x dirigé en sens contraire de la pesanteur.
Nommons :
a le rayon du cefcle générateur 5 s l'arc de la cycloïde compté à partir du sommet 5 A' la résistance du milieu pour l'unité de vitesse 5 c la valeur initiale de ^5 et admettons que la vitesse initiale soit nulle.
Nous avons
dv dx
'dt ~^ ^^ D'après les propriétés géométriques de la cycloïde,
dx s s- = bax, — = -^ ds I\a
d'ailleurs, si l'on suppose cjue l'arc décroisse quand la
vitesse est positive,
ds
il en résulte que l'équation première peut s'écrire
d's ds s;
^ - dt- dt b^a
On l'intègre parle procédé bien connu qui s'applique aux équations linéaires à coefficients constants. Substituante = Ce''% il vient
