X-zbi/X

l'intégrale est donc

4l6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Ici il convient de distinguer deux cas, suivant que le radical est réel ou imaginaire.

Supposons d'abord le radical imaginaire, ou A<^ \/ ~i

c'est le cas le plus conforme à ce qui se passe ordinairement dans la nature.

Si l'on pose

la formule (i) prend la forme

'^ ( A ces — H- B sin —

dans laquelle A et B sont des constantes que nous déterminons par la condition que, pour Z = o, on ait

Il vient

d'où

ds

s :=zc et —

dl

A et A-l--B = o:

ht , > ~ ~ [ '/t k . 'it

12) *r=:C(? - COS ! sm -^

Le temps T que le mobile emploie pour arriver au sommet se tire de l'équation

.y =: 0, ces 1 sm ^— -=: o, tang - — = — ■-•

Cette valeur de T est indépendante de la position initiale, et la même particularité se présente dans le second cas que nous examinerons plus loin; par conséquent, la cy-

cloïde est tautochrone dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la 'vitesse (*).

Admettons pour un instant que la résistance A soit

Al 7T , . . . ^

tres-pelite. Alors - — sera tres-peu supérieur a -, en

sorte que, si l'on pose

et, par suite,

7T /tt \ I 7

tang — = tang - + ,.= — = - y.,

2 \ 2 / tang « A-

on aura sensiblement, en remplaçant dans la valeur de T u par tangz/, et négligeant les puissances de - supérieures à la première,

la . a

z=:-k\ - + ik —

Ce temps est à peu près celui de la demi-oscillation descendante qu'un pendule cycloïdal exécute dans l'air lorsqu'on l'écarté légèrement de la verticale; il est un peu plus considérable que pour le pendule oscillant dans le vide.

La formule (2) nous donne

ds ^ ~ '^ f k* \ • yf

— = — (»—- e ^ [ l-7)sin — :

(*) Cette propriété de la cycloïde était connue de Newton ; Principia, lib. II, prop. 26.