TT -TT
Venons au second cas : le radical i/A^ — - est réel,
'>sl\-
Soit
La formule (i) devient
On doit déterminer les constantes C, C par la condition que, pour f = o, on ait
ds s =^c,
alors on trouve
Cette valeur de s ne s'annule que pour £ = 00 5 par conséquent le mobile ne dépassera pas le sommet de la cycloïde, et même il ne l'atteindra jamais. D'après la dernière équation, nous avons
dt 47
fk — V /c-f-v T
dt
Ces formules nous montrent que la vitesse croît depuis l'instant du départ jusqu'à l'époque t donnée par l'équation
— vt A —7 I ^j Y
/i-hy 7 ^ A — y
420 MÉCANIQUE lliVTIONKELLE.
A partir de cette époque la vitesse décroît et converge vers G.
Enfin, si l'on suppose que le radical V/- — A^ nul, on trouve, en recourant à l'équation (A),
soit
ds ( ky -^'
de Va/ V 2
Ces formules nous montrent que le mobile ne peut dépasser le sommet de la courbe, et s'en approche indéfiniment sans pouvoir l'atteindre. La vitesse estun maximum
à l'époque * = y
2. Déterminer le moin^ement du pendule légèrement, écarté de la verticale, dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la vitesse.
Soient a la longueur du fil, 0 l'angle qu'il fait avec la verticale et ^ la résistance du milieu. On a
■— = ^ sm 9 — kc.
dt °
OU, si l'on remplace sinS par 0 et t^ par sa valeur — '^ j7 »
d'Q dB g ^
dt^ dt a
Cette équation est tout à fait semblable à l'équation (A) du problème précédent, si ce n'est que l'arc s se trouve remplacé par l'angle 0, et le double du diamètre du cercle
générateur ^a par la longueur du fil a. Sauf ces changements de noms, la discussion précédente s'applique mot pour mot.
Ce problème donne la loi des petites oscillations du pendule dans l'air; car, lorsque la vitesse est très-petite, on peut sans erreur sensible admettre que la résistance de l'air est proportionnelle à la vitesse. Dans ce cas, la résistance A' est peu considérable ; elle est inférieure à w - ;
on peut même négliger son carré. Alors, comme nous l'avons vu, la durée d'une demi-oscillation descendante est un peu plus considérable que dans le vide; mais la durée d'une oscillation entière est la même.
Au reste, pour juger de l'exactitude de ces résultats, il suffit de réduire en nombres les formules rigoureuses données dans le problème précédent. Nous nous servirons pour cela d'une expérience de Borda. La valeur initiale c de l'angle B était un tiers de degré environ, l'amplitude des oscillations diminuait à peu près en progression géométrique; après 1800 oscillations, elle n'était réduite qu'aux deux tiers de sa valeur primitive.
Ainsi, en conservant les notations du problème précédent, on a
1 800 k TT
i8oo/-7r =— 7 log - =- y(o,4o546).
Remplaçons k par sa valeur tirée de l'équation
Il vient
uSoo^»|^I- [y \/fj\-^{^l \/^)'o'4o546'
d'où l'on tire
On voit par là que la durée d'une oscillation est
■Wî
I ,00000000257 ou à peu près
2tv \/- (1 — 0,00000000257),
ce qui ne diffère presque pas de la durée d'une oscillation dans le vide,
'Wî
Poisson, Traité de Mécanique, 2^ édit. t. I, p. 348.
3. Déterminer le mou\^ement du pendule dans un milieu dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse.
Conservons les notations du problème précédent. Nous avons
(i) — ak- l--sin9— -0,
^ ' dt' df a
d [d^Y , fdQY -xg . „ ' —2.a/c{—-\ ■=■ ^sinQ.
ou, ce qui est la même chose,
— -— — 2aA- — , dQ\dt J \^^ ) «
( d^\ ^ Si l'on regarde Q comme la variable et ( — J comme la
fonction, cette équation est linéaire et du premier ordre. On l'intègre par la méthode connue.
Substituant
/de
il vient et
d'où
DYWAMIQUE. 4^3
y=ze'-^ ÇwdO, r= iak
2g-co56-f-2^Asine 3^^.g
Nous déterminons la constante G par la condition que
— soit nul pour 0 = c -, alors
n ^- = —, 7— 7TTT [COSÔ + 2fl/ÎSm9
Cette formule nous permet de calculer les amplitudes des oscillations successives. En effet, soit — Cj la valeur de l'angle 0 à la fin de la première demi-oscillation ascendante: cette valeur devra vérifier l'équation
(cose, — 2fli/^-sinci)e'"^'"» — (cosc + 2rt/- sinc)e-^<'^'= =. o.
Si l'on développe les exponentielles suivant les puissances de k et que l'on néglige le carré de cette résistance supposée très-petite, on aura
cosc, — 2aA- (sine, — c,cosci)=: cosc + 2.aK- (sine — ccosc).
La valeur de Cj qui vérifie cette équation diffère très-peu
de c j posant donc
Cl =z c — S,
4^4 MÉCANIQUE BATIONNELLE.
nous pourrons négliger d^ et kâ 5 nous aurons 5 sine =z ^ah (sin c — ccoscj ;
d'où
c^T=c — -: — (sinc — c cosc).
sine
Ce résultat ne suppose pas les oscillations très-petites 5 mais, si elles sont assez petites pour que l'on puisse négliger la quatrième puissance de c dans la valeur de c^, cette valeur se réduira à
Le'' oh c.=c 3-.
Pour trouver la durée des oscillations, on peut résoudre l'équation (2) par rapport à dt^ puis intégrer 5 alors on obtient une expression de la forme
Cette intégrale n'est point exprimable en quantités finies, au moins par les méthodes connues. On pourrait la calculer par approximation, mais il est plus commode d'appliquer les méthodes approchées à l'équation primitive elle-même. C'est ce que nous allons faire en supposant les oscillations très-petites.
Nommons encore c la valeur ini tiale de l'angle 0, qui sera très-petite, et admettons que la vitesse initiale soit nulle. Il est clair que l'expression cherchée de l'angle 0 est une fonction continue de c et s'évanouit avec cet angle 5 par conséquent elle peut se développer en une série de la forme
(3) G=ce, + 6-'92 + . ..;
et cette série sera d'autant plus convergente que c sera plus petit. Nous nous bornerons aux deux premiers
termes, qui sont bien sufBsants pour représenter les exr périences les plus délicates 5 toutefois la méthode sera générale.
Substituons dans l'équation (i) les valeurs de -7—5 -—
etsinô que Ton tire de la formule (3) lorsque l'on néglige les troisièmes puissances de c, puis égalons séparément à zéro les coefficients de c et de c". Il vient
^^^ dt' a de' a ' dt'
La première de ces équations nous donne l'intégrale
6, = A ces 1 / 4/--I- B
dans laquelle les constantes A et B se déterminent par la condition que, pour t = o, on ait
et, par suite (3), On trouve ainsi
dQ
dQ, __
=: COS t
Substituant cette valeur dans la seconde équation (4), il vient
r/^e, g^ h g hg
h - 02 ^ + — ces ( it
dt^ a 2 2
C'est une équation linéaire du second ordre, on l'intègre par la méthode que nous avons rappelée plus haut. Des exponentielles imaginaires s'introduisent, on les remplace
par des sinus et des cosinus, et l'on trouve enfin
