Dcos(yf +e) + î;^ + î^ cos (=r y/i
D et E sont des constantes que l'on détermine de manière que, pour i = o, on ait
alors on obtient
1= — cos\ t
d'où
(5) et
2c'<7/?\ / / o-\ c"^ ak
C ~ ) CCS i ?
c'ak
— -. — cos 1 2 1
p = — fl — =:î v'«§" (3 — 2CflÂ)sin( fW^ j
+ cak sin î 2 ?
Ces valeurs vont nous donner la durée et l'amplitude des oscillations-, dans cette recherclie, nous pousserons l'appioximalion jusqu'aux secondes puissances de c inclusivement.
La durée de la demi-oscillation descendante s'oLtient en résolvant par rapport à t l'équation 0 = 0, dans laquelle 0 est remplacé par sa valeur (5). Une première valeur approchée est
2 Vs''
car celte valeur annule le terme qui est du premier degré
par rapport à c. Posant donc
on déterminera u par la méthode de Newton, qui consiste à prendre pour u le quotient changé de signe de Q par sa dérivée relative à f, dans lequel on fait
TT /a On trouve ainsi
flX- /a ( 2Cfl/\~' cak a
cah "3
Il est inutile de prendre ici le terme en c^ et de pousser l'approximation plus loin; car u doit évidemment changer de signe avec /r, et comme dans toute la suite des calculs que l'on pourrait faire, c serait toujours accompagné du facteur A, il faut que u ne contienne que des puissances impaires de c. La durée de la demi-oscillation descendante est donc
„ TT la cak
Pour obtenir la du.rée d'une oscillation entière, il faut résoudre par rapport à t l'équation u= o, dans laquelle p est remplacé par sa valeur (6). En opérant de la même manière, on trouve , au même degré d'approximation ,
que cette durée est ^ \/-5 comme dans le vide.
Nous aurons l'amplitude de la première demi-oscillation ascendante, si nous posons
dans la valeur (5) de l'angle 6 changée de signe. Nous
4^8 MÉCANIQUE RATIONKELLE.
trouvons
doù nous voyons que l'amplitude de la seconde demioscillation est plus petite que celle de la première, de la
quantité — - — i comme nous 1 avons déjà trouve par une
autre méthode.
Tous ces résultats coïncident à peu de chose près avec ceux que nous avons obtenus au problème précédent, dans l'hypothèse d'une résistance proportionnelle à la vitesse; les petites diiierences qui existent peuvent être attribuées aux valeurs différentes que le coefficient A' doit recevoir dans ces deux hypothèses.
Dans tout ce qui pi^écède, nous avons supposé que le corps du pendule était un point matériel sans volume. Dans la réalité, il ne peut en être ainsi. Comme un corps plongé dans un fluide y perd une partie de son poids égale à celui du fluide déplacé, le pendule se trouve dans le même cas que si la gravité, au lieu d'être égale à g, était égale à g (i — o), p désignant le rapport de la densité du fluide à celle du corps. Par là on verra facilement que, d'après la seule considération de la perte de poids à l'état de repos, la durée des oscillations dans un fluide se trouve augmentée dans le rapport de l'unité à yi — p pour un même pendule, et la longueur du pendule simple se trouve diminuée dans le rapport de i — p à l'unité pour la même durée.
De plus, Bessel a fait voir par l'expérience que la perte de poids est moins considérable pour un corps en repos que pour un corps animé d'un mouvement oscillatoire. II en résulte que, dans les résultats précédents, il faut multiplier p par uu facteur f plus grand que l'unité.
Poisson a démontré, dans son Mémoire sur les mouue-
ments simultanés d'un pendule et de Vair environ' fiant (*), que le facteur /^ est indépendant de la densité du pendule ainsi que de la densité et de la nature du fluide dans lequel il oscille. Pour le cas d'une sphère dont le diamètre est petit relativement à la longueur du pendule, il trouve
Poisson, Traité de Mécanique, 2^ édit., t. I, p. 353.
4. Trouver les courbes iautochrones pour un point pesant dans un milieu dont la j^ésistance est proportionnelle au carré de la vitesse.
Soient :
O Texlrémité des arcs qui sont parcourus dans le même temps 5
X la distance du mobile au-dessus de l'horizontale qui passe au point O 5
s l'arc de la courbe compté à partir du point O;
h la hauteur à laquelle serait due dans le vide la vitesse que le mobile possède au point O;
k la résistance du milieu pour l'unité de vitesse.
On a
vdo =: — gdx •+- kv'^ds.
ou, si l'on multiplie par ie~-''' et que l'on intègre,
(i) «^îe-2^^ =ig{h— j e-^^'dx ] '
Remplaçons v par sa valeur — ;r' ^'' posons
Je—-** dx ; o
(* ) Mdm. de l'Âcad. des Sciences de Paris, t. XI.
43o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
X sera une fonction de u^ et comme s est une fonction de X, nous pourrons poser encore
(3) e~''^ ds = r^ [u] du.
Il vient alors
I >f (u) du
dtz=
\Jl g s/ h — u
en sorte que le temps employé par le mobile pour arriver au point O est
I r^o{u)du
y 2 g Jo V^A — u Cette valeur de t doit être indépendante de 7i;d'où il suit que la quantité comprise sous le signe J doit être
de degré zéro par rapport à /i, m et du. Cela exige que
l'on ait
a désignant une constante.
Substituons cette valeur dans l'équation (3), et intégrons en observant que s et u sont nuls en même temps. Il vient
- (i — e~'"') = 2« sju,
du d7
Or,
d'après l'équali
on (2),
du
ds
ds'
par
conséquent,
dx 2aU— = ds
zze^'— l
DYNAMIQUE. 43 ï
D'un autre côté, nous avons
Il sr Jn
du Ta
\/2 g Jo sjhu — «2 v^2 g-
donc enfin l'équation de la courbe taulochrone est
dx
4 gk^ t\x h- 'k'' As = tt' ( f ^^ — I ) .
On peut obtenir la valeur de l'arc parcouru pendant le temps t. En effet, soit ^0 la valeur initiale de l'arc s. La formule (i) peut s'écrire
,, ds' r'o , dx ,
et si nous remplaçons ~ par sa valeur tirée de l'équation {4)5 il vient
ds'' -'**-— = -4— I e-'" [i — €-'<'] ds dt^ 1
Posant
cette équation nous donne
2T rfz
dt.
« = — arc CCS — > z = Zo ces — ?
