I. 2* ÉDIT
ou
il viendra
Il nous faut inlégrer cette équation, dans laquelle v est la fonction et 5, a les variables indépendantes. On sait qu'elle se ramène aux deux équations différentielles simultanées
dv
de
ds
TJ
Posons
d'où
^i^sK'^^)
Nos équations différentielles pourront s'écrire ds dd
dv
Us ~"
..ti
Soit
La première équation nous donne
a [g) — m{s) = const. = A;
d'où l'on tirera une valeur de o de la forme
Si l'on substitue cette valeur dans la seconde équation différentielle, et que l'on pose ensuite
X étant une variable auxiliaire, on obtient l'équation
^\^s,l[s)\ds,
où 0' [^, ^(•^)] représente ce que devient la dérivée de 0(5, c) par rapport à 5, lorsqu'on y fait, après la difïérentiation, (7 = 1^(5).
Soit /5(5) l'intégrale indéfinie du second membre. On aura
- = p(^) + const. =p(5) + -,
Bp(^)-t-i ç(5) — ,.p(5)
Il résulte de là que l'intégrale générale de l'équation (3) est
w ( tj- — w U
y étant le signe d'une fonction arbitraire. Toutefois les conditions de notre problème assujettissent cette fonction y à être identiquement nulle, lorsque l'on y fait simultanément
.y := (7 et p := O ;
car la vitesse initiale du mobile est supposée nulle. Différentions la dernière équation par rapport à s, et
MÉCAKIQTJE RATIOKKELLE.
remplaçons o)' [s] par sa valeur — --:', il vi
Lt(^) — ^p(*)J
lent
as
On en tire
ou, SI i on pose — == —
Telle est la formule cherchée. G et (j? représentent des fonctions arbitraires ; p est aussi une fonction arbitraire.
En effet p' {s) et par suite p{s) sont définis par l'équation
p'(5)o>ç[ç(.)].-tÇ(^)J = e:,[., !;(.)],.
el, puisque la fonction 6 n'est assujettie qu'à la seule condition de s'évanouir pour s = a^ nous pouvons prendre
j(' (cr) étant indépendant de s-^ alors le second membre de l'équation précédente se réduit à
D'ailleurs le premier membre peut s'exprimer en ^{s)^
quelle que soit la fonction p (5), puisque s est une fonction de (^ (5) . Prenant cette expression du premier membre pour la fonction x[C("^)] ^^^ ^^^ ^ volonté, l'équation sera satisfaite.
Supposons, en particulier, que l'on prenne
et posons, pour abréger,
.G La formule générale (4) pourra s'écrire
rs étant le signe d'une fonction arbitraire.
Cette dernière formule a été donnée par Lagrange , dans les Mémoires de V Acacléniie de Berlin, lyôS, l'j'jo. La formule générale d'où elle dérive a été établie récemment par M. Biiosclii (*).
6. Comme application des formules que nous venons d'établir, nous nous proposons ici de chercher tous les cas de tautoclironisine contenus dans la formule de Lagrange, et relatifs à un corps pesant qui se meut a^ec frottement dans un milieu dont la résistance est une fonction quelconque de la ^vitesse, f{'^')-
Supposons l'axe des x vertical et dirigé en sens contraire de la pesanteur*, et soit jj. le coefficient de frottement.
La composante tangentielle de la pesanteur et la pres-
C) Annali di Scienze matemaliche e fisiche compilati da B. Tortolini ; Roma, i853, p. 6a.
438 MÉCANIQUE RATIOWKELLE.
sion sur la courbe seront respectivement
dx
' dx'
ds-"
/ dx'
I dx-"'
en sorte que l'on aura, pour l'expression générale de la
force tangentielle,
, . „ (^x / dx"^ ds^ , .
dx'' d^
dx . .
— ^ est ici une fonction de s qui, si elle était connue, don-
ds ^
nerait l'équation de la courbe. Nous allons déterminer cette fonction par la condition que la formule (V) soit comprise dans celle de Lagrange.
Si l'on différentie la valeur (V) trois fois par rapport à t^, puis une fois par rapport à 5, le résultat est identiquement nul. Exprimons que la formule de Lagr-ange satisfait à cette condition.
Si nous posons
la formule de Lagrange prend la forme
et l'on doit avoir
dv^ds
OU, puisque | est une fonction de s,
Cette condition nous donne
Posons l'équation précédente deviendra
Pour l'intégrer, posons encore
Nous obtenons
par conséquent,
^ = Ti + :j'
X= — Alogz-f--Bz-' H-Cz+ D,
F= — Aplog- + -BÇH-ifc-^V' + D(^,
A, B, C, D désignant des constantes arbitraires.
Pour que cette valeur soit identique avec la valeur (V),
44o MÉCANIQUE ïï ATIOWKELLE.
il faut que l'on ait
I dx / dx"^
-i^'^~-Ts--^-s\/'-d^-
d-'x I /■ dt\ ^'dJ
y ds'
La seconde relalion nous montre que la résistance du milieu doit être simplement proportionnelle à la vitesse. Si l'on élimine | entre les deux dernières relations, on obtient, toutes réductions faites,
ce qui est l'équation d'une cycloïde.
Ainsi, la cjcloïde esttaatochrone ai^ec frottement, soit dans le vide, soit dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la vitesse; c'est d'ailleurs le seul cas de tautoclironisme avec frottement qui soit donné par la formule de Lagrange (*).
Si l'on nomme r le rayon du cercle générateur de la cycloïde et H une constante, on aura
dx gx -f- H ch ^ "47" *
La constante H se déterminera par la condition que le mobile, placé sans vitesse initiale à l'extrémité des arcs tau-
( * ) Ce cas de tautochronisme a été signalé la première fois par Necker, Recueil des Savants étrangers (Académie des Sciences do Pai'is), t. IV, • 96; 1763.
DYNAMIQXJE. 44*
tocliroiies, y reste en équilibre, et que, placé un peu plus haut, l'équilibre n'ait pas lieu. Cela exige que l'extrémité des arcs tautochrones soit le point le plus élevé de ceux où le point matériel, posé sans vitesse, pourrait rester en équilibre.
7. Trouver tous les cas de tautochronisme contenus dans la formule de Lagrange (prob. 5), et relatifs à un point pesant qui se meut dans un milieu dont la résistance est une fonction de la vitesse^ f {^)'
Un calcul semblable à celui du numéro précédent montre que la résistance f [v] doit être de la forme
A, B, C désignant des constantes.
Alors la courbe tautochrone est celle que nous avons obtenue au problème 4.
Ceci est un cas particulier du théorème suivant : Toute courbe tautochrone pour une force comprise dans la formule de Lagrange, est encore tautochrone lorsqu'on ajoute à la force un terme proportionnel à la vitesse (■*'). On voit, en effet, qu'en conservant la même courbe et ajoutant à la force tangenlielle un terme proportionnel à la vitesse, l'expression de la force tangentielle totale reste encore comprise dans la formule de Lagrange 5 car le terme additionnel n'a d'autre effet que
d'augmenter la fonction arbitraire cj ( - j d'un terme de la forme - X consl.
J. Bertrand, Journal de M. Lionville, i847> *•• ^^^' P' '^^'
