Un point pesant monte, en vertu d'une impulsion

(*) Lagrange, Mém. de l'Acad. de Berlin, 1765, p. Syi.

442 MÉCANIQUE RATIONWELLE.

initiale, sur une courhe située dans un plan 'vertical; le mouvement a lieu dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse. (Quelle doit être la courbe pour que la vitesse du mobile égale à chaque instant celle qui serait due, dans le même milieu, à la hauteur mesurée par la longueur de rare qui lui reste à parcourir pour atteindre un point fixe situé sur la courbe?

Soit 5 l'arc de la courbe compté à partir du point fixe, X la distance de l'extrémité de cet arc à l'horizontale qui passe au point fixe, et h la résistance du milieu pour l'unité de vitesse.

L'équation de la courbe est

Ce problème fut proposé à Clairaut, pendant son voyage en Laponie, par uu professeur d'Upsal nommé Klingstierna. La solution de Clairaut se trouve dans les Mémoires de r académie des Sciences de Paris ^ 174O5 p. 254.

9. Dhin même point O partent une infinité de droites situées dans un même plan vertical et terminées à une courbe S. Déterminer cette courbe de manière qu'un point pesant, descendant du point O sur Vune des droites, arrive sur la courbe avec une même vitesse, quelle que soit la droite que F on ait choisie. Le mouvement a lieu dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse.

Rapportons la courbe à des coordonnées polaires r, 0, dont l'origine soit au point O, et dont l'axe soit dirigé dans le sens de la pesanteur; nommons a le rayon vecteur qui se compte sur l'axe.

L'équation de la courbe est

cos9

I — Éf-' ""^ EuLER, Mechan., t. II, p. aSi .

10. Les données restant les mêmes que dans le prO" blême précédent, on propose de déterminer la courbe S par la condition que le mobile emploie le même temps pour r atteindre, quelle que soit la droite sur laquelle il descende.

L'équation de la courbe est

y/cos 9 = -^^ ^ y ,

log \e'"'-[-(e''"'— i)'J

EuLER, Mechan., t. II, p. 256.

SECTION IV

MOUVEMENT d'uN POINT MATÉRIEL SUR UNE SURFACE FIXE.

Soient

X, y, z les coordonnées du mobile à l'époque 1 5

V la vitesse 5

X, Y, Z les composantes de la force accélératrice extérieure parallèles aux axes 5

F {x, j)', -2^) = const. l'équation de la surface 5

R la réaction normale que cette surface exerce sur le point.

Si l'on pose, pour abréger,

Tx) '^\dy) ^\di)

les équations du mouvement seront

cr-x JF

dt^ dx

dt^ dj

d^z dY