Z + RU

dt' dz

Pour déterminer la position du mobile à une époque quelconque, il faut éliminer le produit RU entre les trois équations précédentes ; alors on aura deux équations différentielles entre or, y, z^ f, qui, jointes à l'équation de la surface, détermineront les coordonnées en fonction du temps.

Lorsque X<^x + Y dy-h Zdzest la différentielle exacte d'une certaine fonction cç {x,y, z) des seules variables x, Y, z, on a de suite une intégrale première,

^"" — ^l =2[<p(.T,-, J, z) — r^{x,, y,, Zo)],

i^o, Xa, yo, Zq étant les valeurs de p-, .r, j, z qui correspondent à l'état initial. Cette intégrale pourra remplacer une des trois équations primitives, et comme

dx- -r- dj''- -\- dz"

dt-

elle permettra de faire disparaître dt des deux équations restantes. Dès lors il suffira d'éliminer entre ces dernières équations le produit RU pour avoir une équation différentielle en x, j, z qui déterminera la trajectoire conjointement avec l'équation de la surface.

1. D\in point pris à volonté sur Vun des méridiens d'une surface de révolution dont Vaxe est vertical^ on lance un point pesant suii^ant la tangente au parallèle, avec une vitesse qui est une fonction connue des coor-

données du point de départ. Déterminer la surface par la condition que le mobile, assujetti à rester dans son intérieur, décrive toujours un parallèle, quel que soit le point de départ.

Soit pris le plan méridien d'où part le mobile pour plan des xz, et l'axe de révolution pour l'axe des z^ qui sera dirigé en sens contraire de la pesanteur.

Nous avons

X r/^ H- Y dy -h Zdz=i — gdz ;

d'où il résulte que la vitesse doit être constante pendant toute la durée du mouvement; par suite, la résultante de la pesanteur et de la force centrifuge doit être normale à la surface.

Ainsi, X et z étant les coordonnées du point de départ, et \J igf[z,x) la vitesse initiale, nous devons avoir

—-—=g-, ou /■l-,-) = -;^

Telle est l'équation différentielle de la courbe méridienne. Elle nous montre que la hauteur due à la vitesse initiale est égale à la moitié de la sous-tangente à la courbe.

Donnons à la fonction^ quelques valeurs particulières.

Soit

y= COnSt. -: : //.

On a

2 hdx

= dz ,

]02X zz:z — - H- COllSt, 2/i

La courbe est une logarilltmiquc.

Soit

44^ MÉCANIQUE RAïIONKELLE.

On a

X dz - = -j-î a dx

const.

La courbe est une parabole.

Soit