SURFACES QUELCONQUES
Soient x,j^ z les coordonnées d'un point r|uelconque sur la surface considérée, et
dz dz
Les coordonnées x^y^z du centre de gravité seront données par les formules
- ffx\J\-\-p^-^q'^dxdy
fJ'\'i-hp^-+ fpdxdj - ffj y/ 1 H- /^' + g' dxdy
J J V^ I 4- />' + 7' dxdy Z ^ //^ \Jl-\-p' + q' dxdy
fSsj'i +/?' -h 7=^ dxdy
20 MÉCAJNIQUE RATIONNELLE.
OÙ les intégrales s'étendent à toute la surface dont il s'agit.
1. Considérons la surface enveloppe d'une sphère de rayon constant, et dont le centre décrit une courbe plane. Si l'on prend le plan de la courbe dii^eclrice pour plan des xy", et que l'on représente cette courbe par l'équation
l'équation de la splière mobile sera
(x — .r,)= + [j — (j)(j;,)]2 + z2=r=; on en déduit, par différentiations ,
X — Xi-{-pz-=o, y — vj[x^) -[- qz ^z o,
et si l'on élimine x^ et 9(^1) entre ces trois dernières équations, il vient
z \ji -\-p^ -{-cj'^:=r ;
par conséquent l'ordonnée du centre de gravité de la demi-surface enveloppe située au-dessus du plan des xy^ est
ff s/i-\- p' -h (f'clxdy
Dans cette expression, le dénominateur représente l'aire de la surface enveloppe, et le numérateur représente la projection de cette aire sur le plan des xj-, d'où il suit que la distance du centre de gravité de la surface au plan de la courbe directrice est une quatrième proportionnelle à Vaire de la surface^ à Faire de sa projection sur le plan de la directrice et au rayon de la sphère. Cette relation subsiste évidemment lorsque la surface enveloppe se réduit à celle de la sphère.
2. Soient s l'aire d'une figure tracée à volonté sur la surface d'une sphère dont le rayon est /' ;
Sj la projection de cette aire sur un plan diamétral',
z la distance de ce plan au centre de gravité de la surface S;
£?S l'élément de cette surface ,
el a l'angle que le rayon mené du centre à cet élément fait avec la normale au plan.
On a
Or
z^rrcosa et ^003 a r/S := S; ;
par conséquent
Ainsi nous pouvons énoncer la proposition suivante, qui permettra dans bien des cas de déterminer aisément le centre de gravité d'une figure spliérique :
Soient OX, OY, OZ trois droites quelconques menées par le centre d^une sphère dont le rayon est r; S Vaire d'une Jigure tracée à volonté sur la surface de la sphère ^ S^^ S^, S^ les projections de cette aire sur les plans YOZ, ZOX, XOY, etx, j, z les distances des mêmes plans au centre de grauité de la surface S .
On
Appliquons ce théorème à la détermination du centre de gravité d'un triangle spliérique.
Nommons A, B, C les angles du triangle, «, b^ c les
aS MÉCANIQUE RATIONNELLE.
côtés opposés, et faisons coïncider les droites OX, OY, OZ avec les rayons OA, OB, OC. Nous avons
lOO
d'ailleurs la projection de cette surface sur le plan BOC a pour valeur
aireBOG — aireCOA.cosC — aircAOB.cosB
^ -—T- (a — icosC — ccosB); 3do
par conséquent
et de même,
- I a — ôcosC — rcosB ■^~ 2 ' A + B + G— i8o '
- I h — ccosA — flcosC •^ ~ 2 '^ A + B + G — i8o ■
I c — rtcosB — ècosA ~ ~ 2 ' "a -l-B + G — iSo '
3. Considérons la surface engendrée par la révolution de la chaînette
autour de l'axe des z, et concevons que cette surface se déplace de manière que, son axe restant toujours vertical, son sommet décrive une courbe dans un plan parallèle à celui des xy\, il en résultera une surface enveloppe dont nous nous proposons d'étudier le centre de gravité. Soient
l'équation de la courbe décrite par le sommet de la sur-
face génératrice, p, q les dérivées pariiclles — ? — rcla- 'A ^ dx dy
lives à la surface enveloppe, et
L'équation de la surface mobile est R R
on en tire
et si l'on élimine Xi et 9(.^i) entre ces trois dernières équations, il vient
De là résulte une propriélé curieuse de celle surface enveloppe. En effet, traçons sur cette surface un contour quelconque, elsoit z l'ordonnée du centre de gravité de la portion de surface limitée par ce contour, on aura
D'un autre côté, si l'on représente par z l'ordonnée du centre de gravité du solide cylindrique, qui est renfermé entre le plan des xy, les ordonnées du contour cl la surface enveloppe, on aura
'-ff'Jdxdr -~ JJzdxdy
3o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
les intégrales ont ici les mêmes limites que dans l'expression de z \ par conséquent
Ce que nous venons de dire subsiste évidemment lorsque la surface enveloppe se réduit à l'une des surfaces enveloppées.
C'est au professeur Giulio, de Turin, que nous devons les théorèmes exposés dans les n°^ 1, 2, et 3 {iwirX^ Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. IV, p. 386).
4. Soient OX, OY, OZ trois axes quelconques menés par le centre d'une sphère dont Je rayon est z';
S V aire d"" une figure tracée à volonté sur la surface de cette sphère ;
S^, S,., S. les projections de cette aire parallèles aux axes sur les plans YOZ, ZOX, XOY 5
OX', OY', OZ' de nouveaux axes respectivement perpendiculaires à ces plans ;
x',y' , z' les coordonnées du centre de gravité de la surface S par rapport à ces derniers axes.
On a
Ox Sy oz o ScHELLBACH, Joumcil dc M. Crellc, t. XLV; i853.
La démonstration de M. Scliellbach est assez compliquée -, toutefois le théorème est susceptible d'une démonstration simple.
Nommons <^S un élément de la surface, x' ^ y', z' ses coordonnées par rapport aux seconds axes, a l'angle que le rayon mené à cet élément fait avec la normale OX au plan Y'OZ', et 0 l'angle des droites OX, OX'.
STATIQUE. 3l
On a
— f.T'dS
Or la perpendiculaire abaissée de l'élément dS sur le plan Y'OZ' est égale à rcosa, et, puisque la droite OX' fait un angle Q avec cette perpendiculaire ,
rcosa cosQ ' d'où
/ces a
Projetons l'élément JS sur le plan YOZ parallèlement à la droite OX. Les lignes projetantes font un angle Q avec la normale OX' au plan de projection, et elles font un angle a avec le rayon qui aboutit à l'élément projeté. Or, quand on projette une aire plane P sur un autre plan, si l'on nomme a l'angle que les lignes projetantes font avec la normale au plan de l'aire projetée et Q l'angle qu'elles forment avec la normale au plan de projection, la projection de l'aire est égale à
cos a cos 9
De là il résulte que nous avons
r«S = hx;
cos 6
et, par conséquent,
Considérons, par exemple, la surface d'un triangle sphérique ABC dont les côtés sont a, è, c.
32 MÉCANIQUE UATIONJVELLE.
Si nous faisons coïncider les droites OX, OY, OZ avec les rayons OA, OB, OC, nous aurons
— rt/'' — br^ — cr^
On peut remarquer que les deux irièdres 0X1 Z, OX'Y'Z' étant supplémentaires l'un de l'autre, on a également, en faisant usage de notations symétriques pour les deux systèmes d'axes, /
, s. Déterminer le centre de grm^ité de la surjacc du cône
nui est comprise entre les plans a:--=:o,j^ = o, 2 = 0, X =^ a.
On trouve
6. Une droite tourne autour d\in point fixe O en s^appuyant sur une courbe S dont on connaît le centre de gravité G ; trouver le centre de gravité de la surface conique terminée au point fixe et à la courhe.
Le point cherclié est sur la droite OG aux deux tiers de sa longueur.
SECTION IX
CORPS HÉTÉROGÈKES.
Lorsque dans un corps la densité varie d'un point à un autre, on détermine le centre de gravité de ce corps par des formules qui différent de celles que nous avons era-
ployées dans les sections précédentes par la seule addition, sous les signes J., de la densité p exprimée en fonction des coordonnées.
î. Déterminer le centre de gravùc de la surface dhin hémisphère^ lorsque la densité de chaque point de cette surface est proportionnelle à sa distance de la hase.
On peut considérer la demi-splière comme engendrée par la révolution d'un quart de la circonférence
autour de l'axe des x 5 dès lors, si l'on représenîe par ds l'élément de l'arc du cercle, et c[ue l'on décompose la demi-sphère en zones intiniraent étroites et parallèles à la base, on a ,
fiTzpxfds fp.xyds
~~ f'^-^?J^^s ~ f^X'^^ ' et, puisque p est proportionnelle à x,
— fx'^yds J'xjds ' d'ailleurs ,
do
ds :=■ \ I \ -\ dx = — dx .
ne
x-dx
xdx
2. Déterm,iner le centre de gravité d'une droite ma'térielle, dont la densité 'varie comme la ;z'^""= puissance de la distance à un point fixe pris sur le prolongement de cette droite.
T. 2e ÉDIT. 3
Soient a, è, x les distances de ce point fixe aux extréités de la di On trouve
mités de la droite et à son centre de gravité.
3. Détenniner le centre de grai^ité de la surface d'un quart de cercle où la densité est proportionnelle à la jiième puissance de lu distance an centre.
Si l'on prend les rayons extrêmes pour axes coordonnés, et que l'on représente par a le rayon du cercle, on
trouv e
— — n -\- 1 la
SECTION X
