DES POLYÈDRES

Lorsque des forces parallèles en nombre quelconque sollicitent les différents points d'un système solide, elles peuvent, en général, se réduire à une résultante unique dont la direction passe toujours par un même point du système, c[uelle que soit leur direction. Ce point unique est le centre des forces parallèles.

Soient P l'une quelconque des forces parallèles, x,j\, z les coordonnées de son point d'application, x., y, z celles du centre des forces parallèles, R la résultante et 2 un signe sommatoire qui s'étend à toutes les forces considérées.

On a

R— P -£ff -__ zPj -2Pz

Ces formules ont été données pour la première fois par ' Varîgnon dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris pour l'année lyi/i' Elles cessent d'être applicables lorsque 2P = o 5 car alors les forces parallèles ne peuvent se réduire à une résultante unique, elles se composent en un couple.

1 . Aux sommets d\in triangle rigide sont appliquées trois forces parallèles, et proportionnelles aux côtés opposés. Déterminer le centre des forces parallèles.

Soient a, Z>, c les côtés, A, B, G les sommets opposés, ^a, |7.&, jy.c les forces qui leur sont appliquées 5 prenons AB pour axe des x, AC pour axe des j.

Il vient

— b .i>.c bc — —

^ = -. = -, » et r=zx,

y.a -h iio -h ^c a -h b -h c

Si l'on nomme 7' la longueur de la perpendiculaire abaissée du centime des forces parallèles sur le côté AB, on a

— c.^cosA surface du trianî:!le

/• = Y ces A = ; = 2. T—. ; j

Cl -h b -h C périmètre

c'est la longueur du rayon du cercle inscrit au triangle ABC. Le centre des forces parallèles coïncide donc avec le centre du cercle inscrit.

Il est facile d'arriver sans calcul à la même conclusion. En effet, on aura la résultante des trois forces en composant d'abord entre elles les forces p.^ et pc, puis la résultante partielle obtenue avec la force p.«; or, cette résultante partielle a son point d'application au point qui divise le côté BC en parties proportionnelles aux côtés adjacents. Ce point appartient à la bissectrice de l'angle A-; donc la résultante totale des trois forces (j.a, ^b, ^c a son point d'application sur la bissectrice de l'angle A. Ce point

est par la même raison sur la bissectrice de l'angle B5 il s'ensuit qu'il coïncide avec le centre du cercle inscrit.

2. Démontrer que le centre de la sphère inscrite à un tétraèdre est aussi le centre commun de gravité de cjuatrë masses proportionnelles aux aires des faces du tétraèdre et placées respecti\^ement aux sommets opposés.

Jnnales de Gergonne, t. XVII, p. 33i; 1827.

Cette proposition se démontre comme celle qui fait l'objet du numéro précédent.

Soient ABCD le tétraèdre, «, b, c, d les aires des faces opposées aux sommets de même nom.

Les forces ^.b et ac, appliquées aux sommets B et C, donnent une résultante appliquée au point qui divise l'arête BC en segments proportionnels aux faces c et b

de l'angle dièdre opposé BADC.

Or, ce point, nous allons le voir, appartient au plan bissecteur du dièdre BADC. S'il en est ainsi, la résultante totale, que l'on obtiendra en composant la résultante partielle déjà obtenue avec les forces y.a et [xd, aura évidemment son point d'application sur le plan bissecteur du dièdre BADC. Ce point doit se trouver par la même raison sur les plans bissecteurs des autres dièdres 5 donc il coïncide avec le centre de la sphère inscrite.

Il reste à prouver que le plan bissecteur de l'angle dièdre BADC partage l'arête opposée BC en deux segments BI et CI, proportionnels aux faces adjacentes BAD et CAD de l'angle dièdre.

Pour cela, considérons le tétraèdre en projection sur un plan BD'C mené par le sommet B perpendiculairement à l'arête AD. Soient C la projection de C, D'I'la trace du plan bissecteur sur le plan de projection. Cette trace partage BC au point I' en deux segments proportionnels à BD' et C D'. Ce même plan bissecteur coupe le plan projetant de BC suivant une droite l'I parallèle

BI TiD' à ce. Il s'ensuit crue — = -—. — ; ; mais BD' est la hauteur ^ CI CD

du triangle BAD, et CD' est égal à la hauteur du triangle de même base CAD 5 donc

BI tr. BAD

CI tr. CAD

3. y^.ux trois sommets B, C, D <:/'// ?2 tétraèdre ABGD sont appliquées trois forces parallèles P, Q, R. Déterminer la distance de leur centre au sommet. A.

Soient /• cette distance et AB = /?, AC = c, AD = d. On a

/•= (P + Q H- R)= = P- b' H- Q^f-' -f- Pv=f/- + 2PQ bcQOi (BAC)

+ 2QPt«/cos(CAD) + 2RPJ6cos(DAB).

4. A trois points fixes, qui ont pour coordonnées a, h ^ a', h' -^ a", b"j sont appliquées trois forces parallèles /?, p' , p" -^ les deux premières forces sont constantes, et la troisième variable. Déterminer le lieu du centre des forces parallèles.

Ce lieu est la droite représentée par l'équation

[ap + a'p') b" + [[a" - a) p + [a" - a')p'\y

= [bp + b' p') a" + \[b" — b)p + {b"— b')p']x.

5. n forces parallèles et constantes sont appliquées à n points; n — i de ces points restent fixes, pendant que

le dernier décrit une courbe. Montrer que le centre des forces parallèles décrit une courbe semblable et seniblablement placée.

Considérons en particulier deux corps dont l'un reste fixe, tandis que le centre de gravité de l'autre décrit un cercle d'un mouvement uniforme.

Soient P le poids du corps fixe, G son centre de gravité, P' et G' le poids et le centre de gravité du corps mobile, a la distance du point fixe G au centre O du cercle décrit par G'.

Le centre de gravité G de l'ensemble des deux corps décrit d'un mouvement uniforme un cercle dont le centre O' est sur la droite GO, à une distance du premier point

' 1 - ^' eg^le a ^-^-p-, a.

Supposons que le corps P soit une forte aiguille, et P' un petit poids c[ui tourne dans u.n plan vertical par l'effet d'un mouvement d'horlogerie fixé à l'aiguille. Si nous suspendons le système par un axe horizontal passant au point O', le centre de gravité G devra se trouver constamm.ent au-dessous de ce point sur la même verticale 5 et, par suite, l'aiguille tournera autour de O' d'un mouvement uniforme. Elle pourra marquer les heures.

Cette petite machine a été construite : on la nomme Vhorloge magique, parce que l'aiguille revient d'ellemême sur l'heure quand on l'en a écartée.

6. Les centres de gravité de V aire et du cojitour dhui polygone circonscrit à une circonférence sont toujours situés sur une droite qui passe par le centre de cette circonférence ^ leurs distances au centre de la circonférence inscrite sont entre elles dans le rapport de "2. à "à.

En effet, décomposons le polygone en triangles ayant leur somnaet commun au centre du cercle inscrit. Pla-

çons ensuite aux trois sommets de chaque triangle des niasses sphériques égales, ayant leurs centres aux sommets et proportionnelles aux aires des triangles, c'est-à-dire à leurs bases. Le centre de gravité du contour sera celui des poids placés aux sommets du polygone. Admettons que tous ces poids soient réunis en une seule masse à leur centre de gravité. Alors le centre de gravité de l'aire s'obtiendra en composant cette masse avec celle qui se trouve au centre du cercle et qui est moitié moindre 5 il sera donc situé sur la droite qui réunit le centre du cercle au centre de gravité du contour, et sa distance au premier point sera double de sa distance au second, ce qui démontre le théorème.

Cette proposition a lieu pour un triangle quelconque 5 elle s'appliquerait aussi à un polygone gauche dont les côtés seraient tangents à une sphère. Seulement il faudrait, dans ce cas, remplacer l'aire polygonale par la somme des aires triangulaires qui ont leur sommet commun au centre de la sphère et qui ont pour bases les côtés du polygone circonscrit.

Brassine, Journal àe M. Liouviîle, t. VIII; i843.

7. Le centre de gravité d'un polyèdre circonscrit à une sphère est situé sur la droite cj ni joint le centre de gravité de la surface de ce polyèdre avec le centre de la sphère inscrite.

Les distances du centre de gravité du polyèdre et du centre de gravité de sa surface au centre de la sphère inscrite sont entre elles dans le rapport de 'i à ^.

Ces propositions sont vraies pour une pyramide triangulaire quelconque. Elles se démontrent comme celles qui précèdent, seulement les triangles sont remplacés par des pyramides triangulaires ayant leur sommet commun au centre de la sphère inscrite.

Ce mode de démonstration s'applique avec avantage à la plupart des propositions connues sur les centres de gravité des polygones et des polyèdres.

Brassine, Journal de M. Liouville, t. VIII; i843.

8. Démontrer que si trois hommes soutiennent par les trois sommets une plaque triangulaire, homogène et d'égale épaisseur, chacun d'eux porte un poids égal.

9. (Quatre hommes ont à porter une plaque triangulaire, homogène et d'égale épaisseur. Deux d'entre eux la prennent chacun par un sommet. A quels points du hord doivejit la saisir les deux autres, afin que le poids soit également répaiti entre les quatre porteurs ?

On démontre aisément que les points clierchés sont situés sur les côlés qui aboutissent au sommet libre, à une distance de celui-ci égale au tiers du côté.

10. Trois hommes ont à transporter une plaque homogène, d'égale épaisseur, formant un parallélogramme. L'un d'eux saisit la plaque par un sommet. On demande à quels points du contour les deux autres porteurs doiueyit la saisir, afin que le poids soit également réparti entre eux tous.

Ils doivent prendre la plaque au milieu des côtés du parallélogramme non adjacents au premier sommet.

H. Les côtés d\in tiiangle ABC sont dis^isés en segments proportionnels par les points D, E, F; c'est-à-dire

que Von a

BD CE AF DC ~ ËX ~ FB '

Montrer que le centre de gravité de Vaire du triangle DEF coïncide avec celui de Vaire du premier triangle.

Démonstration. — On sait que le centre de gravité de l'aire d'un triangle coïncide avec celui de trois poids égaux placés aux sommets.

Plaçons aux extrémités de chaque côté du triangle ABC deux poids proportionnels aux segments adjacents, et dont la somme soit égale à P. Chaque sommet portera le même poids P. Or, les deux poids appliqués à l'un quelconque des côtés, BC, ont pour résultante un poids P appliqué en D. Donc trois poids P, appliqués aux sommets du premier triangle, ont même résultante que trois poids égaux appliqués aux sommets du second triangle 5 il s'ensuit que les deux aires triangulaires ont même centre de gravité.

On peut en conclure que les médianes des deux triangles se coupent au même point.

'12. Un jeu de cartes est placé sur la table. On avance la carte de dessus dans le sens de sa longueur, aussi loin quelle peut se tenir horizontale. Sans déranger la position de cette première carte sur la seconde, on avance celle-ci, autant que possible. Sans déranger les positions relatives des ti^ois premières cartes, on avance pareillement la troisième ; et ainsi de suite, jusquà la carte de dessous qui reste imniobde.

On demande de déterminer les distances dont les cartes successives avancent l'une sur P autre.

Les dislances chercliées sont les produits de la demilongueur d'une carte par les termes successifs de la progression harmonique