III II

La courbe qui passe par les extrémités des cartes est une logarithmique.

SECTION XL

THÉORÈME DE GULDIN .

Lorsqu'une aire plane tourne autour d'un axe extér-ieur situé dans son plan, le volume du solide engendré est égal à celui du prisme qui aurait pour base l'aire génératrice, et pour hauteur la longueur de l'arc de cercle parcouru par le centre de gravité de l'aire.

Lorsqu'une courbe plane tourne autour d'un axe extérieur situé dans son plan, l'aire de la surface engendrée est égale à celle du rectangle dont les côtés seraient égaux en longueur à la courbe génératrice et à l'arc du cercle parcouru par le centre de gravité de la courbe.

Il est clair que la figure mobile doit être située tout entière d'un même côté de l'axe de rotation.

Ces deux propositions furent d'abord énoncées par Pappus, géomètre d'Alexandrie, dans la préface du livre VIP de ses Collections mathématiques ("^j ; toutefois on les nomme ordinairement théorèmes de Guldiii, parce que ce savant jésuite les a démontrées et signalées à l'attention des géomètres par des applications élégantes, dans son Traité De centra gra<^itatis, lib. ÏI et III (i635.)

1 . Uaire comprise entre une parabole, V axe de cette courbe et une ordonnée perpendiculaire exécute une révolution complète autour de V ordonnée. Déterminer le 'Volume du solide engendré.

Soient y l'ordonnée, x sa distance au somniel, x la distance de cette même ordonnée au centime de gravité de Taire.

(*) Cet ouvrage fat publié pour la première fois dans l'année i58S.

Le volume cherché est

V = 2 7r^ X aire.

Or, X =^ -=x^ et l'aire est égale à -^ xy\ par conséquent

On peut observer que le volume du cylindre engendré par la révolution du rectangle construit sur l'ordonnéej^ et l'abscisse x tournant autour de la môme ordonnée, est

égal à

n.-K--x.xY., ou ■n-xV, ou -5- V.

Ce problème fut proposé par Kepler dans sa Stéréométrie, et résolu par Guldin, De ceiitro grauitatis, lib. II, cap. XII, prop. 6.