Déterminer le centre de gravité d'ufi arc de cercle

Faisons tourner l'arc de cercle autour d'un diamètre parallèle à sa corde. Il engendre une zone sphérique dont la svirface est égale au produit de 27: par le rayon et par la corde. Or, d'après le théorème de Guldin, celte même surface est égale au produit de l'arc et de la circonférence décrite par le centre de gravité de l'arc.

Soit X la distance de ce centre de gravité au diamètre.

Nous avons

2 77 X rayon X corde = arc yCi'Kx; <

d'où

- rayon X corde

3. Le théorème de Guldin subsiste quelque petit que soit l'angle décrit par la figure mobile dans sa rotation autour d'une droite tracée dans son plan. Il s'ensuit que

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si Fon imagine un plan qui roule sans glisser sur une surface développable, une aire tracée dans ce plan engendre dans ce mouvement un volume égal au produit de cette aire par la longueur du chemin que décrit son centre de gravité. De même, une ligne tracée sur le plan engendre une surface égale au produit de la longueur de cette ligne par la longueur du cliemin que parcourt son centre de gravité.

On suppose que la figure tracée dans le plan mobile reste toujours d'un même côté par rapport à la droite mobile de contact entre le plan et la surface dévcioppable.

Exemple. — Un plan roule sans glisse?' sur un cylindre circulaire. Calculer le ^volume et la surface du solide qu engendre un cercle tracé sur le plan.

Soient a le rayon du cercle, r le rayon du cylindre, b la distance initiale du centre du cercle à la génératrice de contact, w l'angle décrit par le plan, ou, si l'on veut, l'angle décrit par un plan mobile qui passerait constamment par l'axe du cylindre et par la génératrice de contact.

La distance du centre du cercle à la génératrice de contact est Z> + /w ; la longueur de l'arc de développante de cercle décrit par ce centre est donc

rw)<:/w = w ( b -\ ^c

Il s'ensuit que le volume du solide engendré est

7r«^w f b H rw ! 5

et sa surface courbe

4. Déterminer le 'volume et la surface de V aiineau engendré par la révolution d^ un cercle autour d^wi axe extérieur situé dans le même plan.

Si l'on représente par a le rayon du cercle et par h la distance de son centre à Taxe, on trouve que le volume est 17^ a^h^ et la surface i^if-ab.

5. Déterminer le volume du solide engendré par la demi-révolution d' une ellipse autour d\in axe extérieur situé dans son plan.

Soient la., "xh les axes de l'ellipse, et c la distance de son centre à l'axe de révolution. Le voluine cherché est égal à irahc.

6. Déterminer le volume engendré par l'aire comprise entre une parabole, l'axe de cette courhe et une ordonnée perpendiculaire, lorsque cette aire tourne dhui angle d autour de la tangente au sommet.

Si l'on nomme y l'ordonnée et x sa distance au som-

met, on trouve que le volume cherché est égal à ^ Qx'^j.

7. Déterminer le volume et la su/face du solide engendré par la révolution d'un arc entier de cycloïde autour de sa hase.

Soit a le rayon du cercle générateur de la cycloïde.

On trouve que le volume est 571^^% et la surface

8. Déterminer le volume et la surface du solide engendré par la révolution de la moitié d' un arc de cycloïde autour de C axe de cette courbe.

Si l'on nomme a le rayon du cercle générateur de la

46 MÉCANIQUE EATIONKELLE.

cycloïde, on trouve que le volume est Tta^ ( ïï "^ ~ )' ^^ la surface 8 tt a^ ( tt — i^

9. Déterminer le 'volume du solide engendré par la révolution d'un triangle rectangle autour de son hypoténuse.

Si les côtés de l'angle droit sont a et è, le volume chercbé est

3 v^fl^ + b'