I. 2*^ ÉDIT

66 MÉCANIQUE HATIOWKELLE.

comme leurs bases. Si nous prouvons que les mêmes triangles sont entre eux comme les carrés des distances de leurs bases infiniment petites au centre du cercle, il sera démontré que les éléments du cercle et de la droite compris entre les deux mêmes rayons ont des longueurs ou des masses proportionnelles aux carrés de leurs distances au point attiré, et par suite qu'ils exercent sur ce point des attractions égales. Soient A et B nos deux triangles. On peut remplacer l'un d'eux A par un triangle A' semblable au triangle B, sans altérer les grands côtés et la surface des triangles, si ce n'est de quantités infiniment petites par rapport à ces quantités elles-mêmes. Or les triangles A' et B étant entre eux comme les carrés de leurs grands côtés, il en sera de même à la limite pour les triangles A et B 5 et à la limite l'un quelconque des grands côtés peut être pris pour la distance de la base au centre du cercle.

On verra de même que, si l'on suppose l'attraction en raison inverse du cube de la distance, un cône intercepte sur une sphère qui a son centre au sommet, et sur un plan tangent de même épaisseur et de même matière, deux surfaces qui attirent également un point matériel placé au sommet.

D'après cela, lorsqu'un point matériel est placé dans l'intérieur d"un tétraèdre, dont les quatre faces sont des plans homogènes de même épaisseur et c|ui attirent en raison invei'se du cube de la distance, les conditions d'équilibre du point sont exprimées par les relations

dans lesquelles /?, ^, r, s représentent les distances du point attiré aux faces du tétraèdre, et ^, p^ v, p les densités de ces faces.

17. Toute zone splièrique, considérée comme matérielle et homogène^ telle que le plan de F un des cercles de base soit à égale distance du pôle et du plan de la seconde base^ attirera le pôle avec une force égale à

7rf/piog2,

p est la densité, y. est l'attraction de l'unité de masse à l'unité de distance.

18. Démontrer que V attraction dUuie demi-sphère homogène sur le centre est égale à celle de la sphère entière sur un point de sa surface.

SECTION IL

ÉQUILIBRE AVEC FROTTEMENT

Dans la Mécanique rationnelle, on considère ordinairement les corps solides comme tout à fait incompressibles et terminés par des surfaces parfaitement unies. Aussi, quand il s'agit d'un corps pesant qui repose par une face plane sur un plan horizontal fixe, on admet c[ue toute force horizontale appliquée sur ce corps lui communique un mouvement, quelque petite c[ue soit cette force. Dans la réalité, il n'en est pas ainsi : la force appliquée doit dépasser une cerLaine limiîe pour produire le mouvement; car les corps de la nature sont plus ou moins compressibles, et toujours terminés par des surfaces qui présentent une multitude de petites aspérités. Il faut donc admettre que, dans le cas d'une force trop faible pour produire le mouvement, la réaction du plan sur la surface en contact ne se compose pas uniquement d'une force normale à la surface, mais aussi d'une force tangentielle égale et contraire à la force appliquée. Cette réaction tangentielie est le frottement.

68 MÉCANIQUE UATIOJNKELLE.

Ce qu'il importe surtout de connaître, c'est la limite cjue la force de frottement ne peut pas dépasser dans des circonstances données; Texpérience seule peut déterminer cette limite. Voici les résultats auxquels elle a conduit.

Considérons généralement deux corps en contact, l'un d'eux étant fixe. Nommons R la pression normale qui s'exerce entre les deux surfaces, et F la plus grande force que l'on puisse applicjuer à l'un des deux corps sur sa surface de contact, et parallèlement à cette surface, sans lui communiquer de mouvement. La force F, cjUC l'on nomme frottement au départ, est proportionnelle, pour deux substances données, à l'étendue des surfaces en contact et à la pression partielle qui s'exerce sur une étendue déterminée de ces surfaces, si l'on suppose que la pression totale est également répartie sur tous les points de contact. On énonce ordinairement cette loi de la manière suivante :

Pour deux substances données, le frottement au dé' part est proportionnel à la pression normale, et quand la pression est la même, il est indépendant de l'élendue des surfaces en contact.

ïl en résulte quC;, si l'on pose

la quantité p. sera constante pour deux mêmes substances, quelles que soient la pression et l'étendue des surfaces en contact. Cette constante [x est nommée coefficient de frottement.

Lorsqu'un corps pesant est lancé le long d'un plan horizontal sur lequel il s'appuie par une face plane, on observe que la vitesse imprimée s'épuise peu à peu 5 tandis qu'elle devrait rester constamment la même, si la réac-

lion du plan était tout entière normale. Il faut donc admettre que la surface en contact éprouve une réaction tangentielle, lors même que le mouvement est établi. Cette réaction est le froltemcnt dynamique, ainsi nom.mé pour le distinguer du frottement au repos ou frottement statique. Ces deux frottements se nomment encore frottements de glissement ou frottements de première espèce, pour les à\s\.\i\s,\\cv àw frottement de roulement ou frottement de seconde espèce, dont nous parlerons plus tard (*).

Généralement, lorsque deux corps animés de vitesses différentes glissent l'un sur l'autre, le frottement dynamique est mesuré par une force égale et contraire à la force qu'il faudrait appliquer à l'un des corps sur sa surface de contact et en sens contraire de sa vitesse relative à la seconde surface, pour maintenir le mouvement relatif tel qu'il se continuerait si les deux corps n'exerçaient l'un contre l'autre qu'une simple réaction normale. On voit que le frottement dynamique est une force tangentielle qui tend à égaliser les vitesses des points en cantact.

Le frottement djnanùque est soui/iis aux mêmes lois que le frottement statique au départ ^ de plus, il est indépendant de la 'vitesse relative des surfaces en contact, au moins dans les cas ordinaires de la pratique. Le coefficient de frottement djnamique est toujours sensiblement inférieur à celui de frottement statique entre les mêmes surfaces.

C'est en vertu de cette dernière loi qu'un corps pesant, d'abord en repos sur un plan dont l'inclinaison est peu inférieure à celle qui ne permettrait pkis à l'équilibre de subsister, commence à descendre pour ne plus

( *) Dynamique, chap. \'II, sect. ii.

s'arrêter, dès que l'on produit dans le système un léger ébranlement.

D'après ce que nous avons dit, la composante tangentielle de la réaction totale est égale à p.R lorsque le mouvement relatif est sur le point de naître et aussi lorsque le mouvement est établi, pourvu que dans ce cas on entende par |x le coefficient de frottement dynamique. Il en résulte que l'angle de la réaction totale avec la perpendiculaire à la surface de contact a pour tangente le coefficient p.. Cet angle, arctangfx, se nomme aiigle de frottement. 11 est aisé de voir que dans le cas où p. représente le coefficient de frottement au départ entre un plan et un corps pesant, le corps glissera sur le plan en vertu de son poids, toutes les fois que l'inclinaison du plan sur l'horizon sera supérieure à l'angle arctangp:, et restera en repos quand l'inclinaison sera moindre.

Les lois du frottement statique ont été découvertes par AmOntons (*). Camus (-) et Désaguliers (^) ont remarqué les premiers que le frottement dynamique est plus petit que le frottement au départ. L'exactitude de ces lois fut longtemps contestée, par suite de l'imperfection des méthodes expérimentales. Les expériences de Muschenbroek {''), de l'abbé Nollet (^), de Coulomb (") et de Ximénès ['') laissaient encore des doutes 5 les belles expériences de M. Arthur Morin (^) les ont dissipés. Aujourd'hui ces lois sont universellement adoptées.

(' ) Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris ; iCgg, p. aoG. (') Traité des /orces mouvantes.

( ^ ) Cours de Physique.

(*) Introd. ad Phil. nat., t. I, cap. is ; 1769. — Lecl. Phys. exper., t. I, p. 241.

(') Leçons de Phys. expér., t. I, p. aSo ; \']^t\.

(") Savants étrangers (Acad. des Sciences de Paris), t. X, p. i63 ; 1785. (') Teoria e pratica délie resist. de' sol. ne' loro atlriti ; Pisa, 1782. ( ' ) Savants étrangers { Académie des Sciences de Paris ), t. IV ; 1 833.

Les résultats suivants donneront une idée de la différence qui existe entre les deux coefficients de frottement pour les mêmes substances. Le premier nombre se rapporte au frottement statique, le second au frottement dynamique :

Chêne sur chêne, fibres parallèles, sans enduit, ja : Fer sur chêne, fibres parallèles, mouillées d'eau, p. Fer sur fonte , sans enduit, p. :

1. Deux points pesants P, P' s'appuient sur deux plans inclinés et dépolis AC , AC, et sont réunis par un fil infiniment délié POP', quis^ejigage sur une poulie O située verticalement au-dessus du sommet commun des deux plans. Quelle est la position des points P et P', lorsque le premier est sur le point de glisser dans la direction AC ?

Soient a, et' les inclinaisons sur la verticale des plans AC, AC; B et Q' celles des portions du fil OP et OP'; T la tension du fil ; P et P' les poids des points désignés par les mêmes lettres*, fx et y.' les coefficients de frottement sur les deux plans AC et AC; R et R' les réactions normales de ces mêmes plans.

Projetons les forces qui sollicitent le point P, d'abord suivant une parallèle à CA, puis suivant une perpendiculaire. Il vient

piR -I- Tcos(a — 0 ) = Pcosa, R-Hïsin (a — 9)=:Psin«.

7"-* MÉCANIQUE RATIOJVPJELLE.

Si l'on opère de la même manière relativement au point P', en observant que le frottement est dirigé suivant AC, on trouve

p'R' ~h- P'cosa' = T ces (a' — 6'), R' + Tsin(a' — S') = P'sina'.

Entre les deux premières équations on élimine R, et entre les deux dernières on élimine R', puis entre les deux résultats on élimine T, et il vjent

P'(cosa' + pt'sina') [cos(a — 0} — |xsin(a — G)]

=:P(cosa — ptsina)[cos(a'— Q' ) + p,'sin(a' — 9')];

ou, si l'on pose p, = tang s, p.' = tang s',

P'cos (a' — e') ces ( a — G + g) = Pcos (a + e )cos (a' — 0'— s').

D'ailleurs, la distance OA et la longueur du cordon étant nommées h et a, la Géométrie donne

//sina hsmc'

sin(a — G) sin(a' — S')

Cette équation, jointe à la précédente, détermine les angles 0, Q' et, par suite, la position des points P, P'.

2. Un point pesant est posé sur un plan parfaitement poli et incliné àVhorizon d^in angle ce. On applique à ce point une force donnée^, et l'on demande P angle s" que cette force doit faire avec le plan pour maintenir le point en équilibre. On ne connaît pas le poids du point, mais si Von suppose entre le point matériel et le plan un coefficient de frottement égal à tang ç), on connaît la demi-somme S et la demi- différence D du plus grand angle e' et du plus petit angle £ que la force P peut faire avec le plan sans déplacer le point.

Considérons le plan dépoli dont le coefficient de frot-

tement est tang çp; nommons Pt sa l'éaction normale et Q le poids du corps 5 supposons d'abord que la force P fasse avec le plan l'angle £.

Projetant les forces d'abord sur une parallèle au plan, puis sur une perpendiculaire, on obtient

Pcose =:Rtang(o H- Qsina, Psins H-E. = Qcosa.

Si l'on élimine R entre ces deux équations, il vient

p sinfa-|-^ ces (e — w)

Quand la force P fait avec le plan l'angle s', le calcul est le même, si ce n'est que ® change de signe; on a donc

cos(j' H- cpj

Ces deux dernières équations nous font connaître le poids Q en fonction des c[uantités données, car si l'on ajoute ces deux équations, on trouve, après quelques réductions,

cosS cos(D -+■ tp)

smacos(p

Ceci posé, la condition d'équilibre sur le plan sans

frottement est

„ sina

remplaçant Q par sa valeur, il vient

„ ces S ,^ , coss = cosiD H- «pj.

COScp

Telle est l'équation qui détermine l'angle cberché e".

3. Un point pesant est placé sur une circonférence de cercle située dans un plan 'vertical, et sur laquelle le frottement est égal à la pression. (Quelle est la plus basse des positions oii le point peut rester immobile?

Le rayon qui passe au point cherché fait un angle de 45 degrés avec la verticale.

4. La force nécessaire pour faire monter un corps le long d'un plan incliné est moindre ou plus grande que la force nécessaire à soulei^er directement le corps, suiuant que l'angle de flottement est inférieur ou supérieur à -7 '-■> a éiant rinclinaison du plan sur Tho-

rizon.