ÉQUILIBRE D'UN SEUL CORPS

Pour qu'un corps solide reste en équilibre sous l'action des forces qui le sollicitent, deux espèces de conditions sont nécessaires et suflSsantes : 1° les trois sommes des projections de toutes les forces sur trois droites, qui ne sont point parallèles à un même plan, doivent être séparément nulles -, 2" les trois sommes des moments des forces par rapport à trois droites non parallèles à un même plan doivent aussi être séparément nulles.

Si l'on nomme A, B, C les projections de l'une quelconque des forces sur les trois droites considérées, et A'rt', B' b', Ce' les moments de la même force par rapport à trois droites qui peuvent coïncider avec les premières, et que l'on représente par Z une somme qui s'e'tend à toutes les forces appliquées au corps solide, les conditions d'équilibre seront représentées par les deux groupes d'équations

Lorsque toutes les forces agissent dans un même plan, il suffit de considérer leurs projections sur deux droites non parallèles, situées dans ce plan, et de prendre les moments par rapport à un point du plan 5 alors les équations d'équilibre se réduisent à

y6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.

Archimède a déterminé les conditions d'équilibre d'un levier sollicité par des forces perpendiculaires au bras ; la loi fut ensuite étendue à des forces obliques par le peintre Léonard de Vinci, et, peu de temps après, Stevin découvrit les conditions d'équilibre d'un point matériel.

Plus tard, Varignoii démontra un beau théorème de Géométrie, qui lui servit d'intermédiaire pour passer de la loi du parallélogramme des forces à celle des moments :

Si Von construit trois triangles qui aient pour bases la diagonale et les deux côtés dhin parallélogramme^ et pour sommet commun un point situé dans le plan du parallélogramme^ le triangle formé sur la diagonale est égal à la somme ou à la différence des deux autres, suivant que le point est extérieur ou intérieur à V angle formé par les deux côtés ou par leurs prolongements .

Dès lors le problème de l'équilibre d'un corps solide était entièrement résolu; il ne restait plus qu'à présenter la solution sous la forme simple des six équations que nous avons rappelées plus haut. D'Alembert fit ce dernier pas dans ses Recherches sur la précession des équinoxes^ chap. II; 1749.

SECTION I

ÉQUILIBRE SANS FROTTEMENT

\ . OBA est une harre pesante et homogène qui forme un levier de second gejire. Le point d'appui est à l'extrémité O, la résistance est appliquée au point B, la puissance agit à Vautre extrémité A. Etant donnés le poids Q qui constitue la résistance, son bras de levier OB =: b, et le poids p de la harre par V unité de longueur, trouver la longueur OA = a de la barre qui donne le plus d' avantage à la puissance P.

Toutes les conditions d'équilibre se réduisent dans ce cas à l'équation des moments par rapport aupoiut d'appui :

Qb = 'Pa pa^

Il en résulte

b I P=Q- 4- -pa.

Le minimum de P peut se déterminer, soit par les dérivées, soit par le procédé algébrique élémentaire. 11 est atteint quand

2. U?ie tige pesante et liomogène appuie son extrémité injérieure A sur un plan horizontal^ et son exlrcmité supérieure B sur un plan vertical perpendiculaire au plan 'veitical cpii passe par la tige. Le point C, oit ce dernier plan rencontre V intersection des deux premiers , est lié à uu point connu de la tige, E, par un fd sans poids CE, qui maintient Véquilibre. Déterminer la tension du fil.

Soient ia la longueur de la tige, P son poids, R et II les léactions du plan vertical et du plan liorizonlal, a et £ les inclinaisons de la tige et du iil sur l'horizontale AC, T la tension du fil.

Observons que l'on peut toujours remplacer les poids de toutes les molécules d'un corps solide par une force unique, égale au poids total du corps, et appliquée au centre de gravité.

Pour former les équations d'équilibre, projetons toutes les forces qui sollicitent la tige d'abord sUr l'horizontale CA, puis sur la verticale CB, et prenons leurs moments

par rapport au point C. Il vient

R — Tcos£ = o, R'~P — Tsin£ = o,

R . 2 « sin a H- V .a cos y. — V\.' .Q a cos a = o ;

d'où l'on lire, après avoir éliminé R et R',

„ ^ cos a

2Sin(a. — s)

Cette formule résout le problème et nous montre que : Si s = a, T est infini, l'équilibre est impossible; Si s ^ or, T est négatif, l'équilibre est impossible 5 Si £ <^ a, T est positif, l'équilibre est possible.

3. Une tige pesante et homogène AA'A^'B repose par son extrémité inférieure A sur un plan horizontal, presse en A' une cheville fixe située au-dessus du corps, et s^appuie en A" sur une autre cheville Jîxe située audessous. Déterminer, dans le cas d'équilibre, les prèssions exercées sur la tige par le plan horizontal et les deux chevilles.

Soient 2 a la longueur de la tige, P son poids, a son inclinaison sur le plan horizontal, h la distance des deux chevilles, et R, R', R'' les pressions exercées par le plan, la cheville A' et la cheville A".

Projetons les forces qui sollicitent la tige sur la direction AB et sur une direction perpendiculaire, puis prenons leurs moments par rapport au point A. Il vient

P sin a — R sin a = o,

R'H-Pcosa — R"— Rcosa = 0,

R".(ÂÂ'+ ^'j — R'.ÂÂ'— P.acosa =-■ o;

d'où l'on tire

R=:P, R' = R"r=7Pcosa.

STATIQUE. yg

■4. Une tige pesante et homogène AA'B appuie son extrémité inférieure A contre une droite verticale, et repose en A' sur un point Jixe situé au-dessous du corps. Déterminer les pressions que la lige supporte de la part de la droite et du point lorsque l'équilibre a lieu»

Soient ia la. longueur de la tige, P son poids, a son inclinaison à l'horizon, c la distance du point fixe à la droite verticale, R et R' les pressions exercées par la droite et par le point.

Si nous projetons successivement les forces qui sollicitent la tige, sur la direction AA' et sur une direction perpendiculaire, puis que nous prenions leurs moments par rapport au point fixe A', nous obtenons

R CCS Cf. — P sin a =r o,

R' — R sin a — P cos a =r o,

R.AA' sin a r= P (a — AA')cosa.

La dernière équation peut s'écrire

Rc sin a = P (rt cos a — c) cos a. Cette formule, jointe à ]a première, donne

R = P tang a = P

Par la combinaison des deux premières équations, on obtient

La valeur de cos a montre que l'équilibre est impossible lorsque c est plus grand que a.

8o MÉCANIQUE RATIONNELLE.

5, (Quelle est la force nécessaire pour retenir, dans nne position donnée, une porte dont les gonds ne sont point situés sur une même ligne 'verticale ?

On connaît le poids P de la porte, la distance a du centre de gravité à la ligne des gonds, l'inclinaison (3 de celte ligne sur la verticale, et l'angle dièdre a compris entre le plan vertical mené par cette même ligne et le plan de la porte.

Le moment du poids de la porte par rapport à la ligne des gonds est P cos cd . a ; or, dans le trièdre rectangle formé par le plan de la porte, un plan horizontal et le plan vertical mené par la ligne des gonds, on a

cos o :^ sin a sin p ;

par conséquent, pour maintenir la porte en équilibre, il faut lui appliquer, à une distance b de la ligne des gonds, une force normale F, telle que

F è = P sin a sin p . « .

6. Une tige rigide AB peut tourner librement autour de son extrémité inférieure A, qui est engagée dans une charnière fixe, tandis que son extrémité supérieure B s'appuie contre une droite verticale. Déterminer la pression exercée par la droite, ainsi que les composantes horizontales et 'verticales de la pression exercée parla charnière.

Soient P le poids de la tige, a sa longueur, b la distance de son extrémité inférieure au centre de gravité, a. son inclinaison à l'horizon, R la pression exercée par la droite verticale, H la composante horizontale de la pression exercée par la charnière, et V la composante verticale.

STATIQUE. 8l

Si nous projetons les forces sur l'horizonlale, puis sur

la verticale, il vient

et, si nous prenons les moments par rapport à la charnière A, nous obtenons

R . fl sin a = P . ^ ces a ; d'où

a langa

Ce problème fut proposé et mal résolu par Stone*, Jean Bernoulli (■^) ne le résolut pas mieux, et ce fut Couplet [**) qui donna la première solution correcte. On peut lire l'histoire de ce célèbre problème écrite par Franchini, dans les Mémoires de la Société italienne, t. XVI, i'"'^ part., p. 228: i8i3.

7. On sait que des forces en nombre quelconque, appliquées à un corps solide, peuvent toujours se réduire à deux forces, et cela d'une infinité de manières. Prouver que, de quelque manière que l'on fasse cette réduction, le tétraèdre construit sur les deux forces ré" sultantes, comme arêtes opposées, a toujours même 'volume.

Soient A, B deux points pris à volonté dans l'espace, et PQ la droite qui représente en grandeur et en direction une fcrce donnée. Il est aisé de voir que le moment de la force PQ par rapport à l'axe AB est égal, en valeur absolue, à six fois le quotient du tétraèdre ABPQ par la dislance AB. Nous représenterons ce moment par 6ABPQ

(*) Opéra, t. IV, p. 1S9.

(**) Mémoires de l'Académie de Paris, p. 69; 1/3 1.