AB ~ ~~ AB ~ AB
Ceci posé, nommons PQ etPiS un système de deux forces résultantes; P'Q' ei R'S' un autre système de forces résultantes, et A, B deux points pris à volonté dans l'espace. Les quaire forces PQ, PiS, Q'P', S'R' se font écpiilibre-, la somme de leurs moments par rapport à l'axe AB est nulle 5 par conséquent, on a
ABPQ + AERS = ABP'Q' + ABR'S'.
Nous pouvons faire coïncider les points A et B successivement avec les points P et Q, R et S, P' et Q', Jx' et S'*, il vient alors
PQRS = PQP' Q' -K PQR' S',
RSPQ = RSP' Q' -h RSR'S',
P'Q'PQ -h P'Q'RS= P'Q'R'S',
R'S'PQh-R'S'RS = R'S'P'Q'.
Ajoutant ces équations, on obtient
PQRSz=:P'Q'R'S',
et cette égalité démontre la proposition.
Ce théorème fut énoncé d'abord par M. Chasles (^Annales de Gergonne, t. XVIII ; 1828) : la démonstration qui précède est de Môbius [Journal de M. d'elle , t. IV, p. 179)' M. Chasles a démontré plus tard ce théorème, ainsi cpie plusieurs autres du même genre, dans le Journal de M. Liouvdlc^ t. XII j 1847.
8. Quand plusieurs forces sollicitent un corps solide libre, on sait qu'on peut les remplacer d'une infinité de manières par un système équivalent de deux ou d'un plus grand nombre de forces. Ces divers systèmes équivalents jouissent de la propriété suivante : la droite, qui joint le centre des moyennes distances des points d'application des forces de chaque système au centre des moyennes distances des extrémités des lignes qui représentent ces forces, est toujours parallèle à un axe fixe, et la longueur de cette droite est en raison inverse du nombre des forces. Ainsi, de quelque îuanière qu'on réduise à deux forces un nombre quelconque de forces appliquées à divers points liés invariablement, la droite, qui joindra le milieu de la distance des points d'application de ces deux forces avec le milieu de la distance de leurs extrémités, sera toujours égale et parallèle à une droite fixe.
En ellet, soient x, j^ z les coordonnées des points d'application de l'une quelconque des forces -,
x', j\ z' les coordonnées de l'extrémité de la droite qui représente cette force;
n le nombre des forces ;
X, Y, Z et X', Y', Z' les coordonnées du centre des moyennes distances des points (x, j, z) et [x' ^ j\ z')]
Xi,Ji,jZi, x\.j\,z\, Xi,Yi,Zi, X',,Y', ,Z', les quantités analogues pour un système de forces équivalent.
On a
2i- ~ 2jr "~ 2z ~ 2^
~' Ij' ~ 2s' ■" /z
— Il — ^'" '
IXt 2j, 2 s, 1û:\
d'où l'on tire
Y — Y' Y, — Y', Ï — TI 7a, — Tl^
(X — X')^ 4- (Y — X' )^-|- (Z — Tjy n\
Ces trois dernières relations démontrent le lliéorème. Chasles, Bulletin des Sciences, etc., de l'Académie de Bruxelles ; i84o, IP part., p. 261 . Correspondance mathématique ; 182c), p, 106-108.
9. Soient PQ et RS les droites qui représentent en grandeur et en direction deux forces données. Nous dirons que le tétraèdre qui a ces deux droites pour arêtes opposées est construit sur les deux forces, et nous conviendrons, dans le tliéorènie qui suit, de prendre ce tétraèdre positivement lorsqu'un observateur, dont les pieds sont en P et la tète en Q, voit le point R à sa gauche et le point S à sa droite.
Lorsque ii forces appliquées à un corps solide se font équilibre, ou peuvent se réduire à une force unique, la
somme algébrique des ■ tétraèdres, que L on peut
construire sur ces forces prises deux à deux, est nulle ^ dans les autres cas, oit les forces fie peus^ent se réduire quà deux résultantes, la sonnne dont il s'agit est égale au tétraèdre construit sur les deux résultantes.
Démontrer ce théorème.
MoBius, Journal de M. Crelle, t. IV, p. 184.
10. Des forces appliquées à tous les éléments d'une surf ace fermée quelconque 3 dirigées suivant la normale et proportionnelles aux surfaces de ces éléments, se font équilibre^ pourvu que toutes ces forces agissent à la fois de Vinténeur de la surface à V extérieur, ou inversement.
La démonstration de cette proposition résulte immédiatement d'un théorème que l'on trouvera plus loin, t. II, Complément aux questions de Statique, Attractiojtj sect. I, tliéor. I.
U. Quand on applique à tous les éléments d^une surface fennée quelconque des forces normales proportionnelles au produit du { 1 j? do désignant la
surface de V élément auquel la force est appliquée, R e£ r les rayons de courbure principaux de la surface^ toutes ces forces se font équilibre^ powvu qu elles soient toutes dirigées de V intérieur à V extérieur, ou inversement.
Prolongeons vers l'extérieur chacune des normales à la surface d'une même quantité très-petite ds-^ le lieu de ces extrémités sera une deuxième surface qui aura les mêmes normales que la première. Soient da' l'aire de l'élément de cette seconde surface, et P un facteur constant.
Un système des forces normales Vdo appliquées de l'intérieur à l'extérieur sur la première surface est en équilibre, d'après le théorème précédent-, il en est de " même pour un système de forces laormales Vda' appliqué en sens contraire à la deuxième surface, et aussi pour le système résultant V^do' — da) que nous supposerons appliqué à l'élément da.
Je vais montrer c[ue la différence da' — da peut se
mettre sous la forme dacls [ -• -\ — |-, alors le théorème
sera prouvé.
Prenons pour da un élément rectangulaire ABCD limité par quatre lignes de courbure, et pour da' l'élément A'B'C'D' limité par les prolongements des normales qui entourent da\ l'élément da' sera pareillement un rectangle compris entre quatre lignes de courbure de la seconde surface.
Posons
AB = a, AC = [5,
A'B' = a + fZa, A' C = p -f f/p.
Nous aurons à la limite, pour des éléments infiniment petits,
dG — dG= fjdx -f- af/jB.
Or les normales A' A et B'B se rencontrent en un point O situé à une distance R du point A et à une distance R-i-ds du point A', et les triangles semblables OAB, OA'B' nous donnent
a ^ dot. R-hds
d'où
, a ds ^^• = -R '
de même,
dS = ^^—, r
et, par suite,
da'
— da = da ds ( \
J, Bertrand, Mérnoii-e sur les surfaces isothermes.
On peut démontrer de la même manière que des forces
appliquées à tous les éléments dhine courbe plane
fermée, dirigées suivant la normale et proportionn,elles
y ds
à — ? ds désignant F élément de V arc, et p le rajon de
courbure, se font équilibre.
12. Si Von applique à tous les éléments d'une suif ace fermée quelconque des forces normales , proportionnelles
à — 5 toutes ces forces se font équilibre, pourvu qu elles
agissent toutes de V intérieur à V extérieur, ou inversement,
La notation est la même que dans le tliéorème précédent.
Nous considérons les deux mêmes surfaces.
D'après ce théorème, le système des forces normales
/ 1 I Vda - + -
Vr .'•
appliquées de l'intérieur à l'extérieur sur les éléments da^ se fout équilibre.
11 en est de même des forces
R + cls r -)- ds
appliquées en sens contraire aux éléments du'\ et si nous composons ensemble ces deux systèmes, le système des forces résultantes
Vdn' { ^- \ ^- 1 — P^/'T ( -'-
^R + f/^ r + ds) \R
que nous supposerons appliquées aux éléjnents da^ sera pareillement en équilibre.
Remplaçons dans l'expression de ces dernières forces du' par sa valeur
dG -h d rj ds { — -\
Il vient à la limite, par l'évanouissement des infiniment petits de troisième ordre,
Q-V di ds — 1 R/-
quantité proportionneJle a -— •
Dès lors le tliéorème est démontré.
JoDBERTj Journal de M. LioiwiUe, t. XIII, p. 241; 1848.
88 MÉCANIQUE RATIOKKELLE.
Il est à remarquer que les forces normales proportionnelles à l'élément de surface et à — -? qui se font équilibre
sur une surface, se font encore équilibre sur toute surface fermée obtenue en déformant la première, pourvu qu'elles soient toujours normales aux éléments; car c'est un théorème démontré par Gauss (^Mémoire sur les surfaces)^ que le rapport — n'est point altéré par la déformation de la surface.
13. Une échelle j inclinée de 3o degrés à V horizon, appuie son extrémité inférieure sur un plan horizontal^ et son extrémité supérieure sur un plan incliné de 60 degjés à l'horizon. Ces deux plans sont parfaitement polis., et V échelle peut être assimilée à une barre homogène. (Quelle force horizontale faut-il appliquer au pied de r échelle pour V empêcher de glisser?
Soit P le poids de l'échelle.
La force cliercliée est ceale à -7- P.
4-4. Une sphère homogèjie repose sur deux plans inclinés. Détenniner la pression exercée sur chacun de ces plans.
Soient P le poids de la splière, a, a' les inclinaisons des deux plans sur l'horizon, R, R' les pressions exercées sur ces mêmes plans.
On trouve
sin a' , cîn «
sin (a + a') sin (a H- a')
Leibnitz, Opéra, t. III, p. 176.
15. Une barre homogène s^ appuie par ses extrémités sur deux plans inclinés. Déterminer la position d^ équilibre et les pressions exercées sur les plans.
Soient P le poids de la barre, 9 l'angle qu'elle forme avec l'horizon, a et a' les inclinaisons des deux plans sur l'horizon, R et R' les pressions exercées sur ces plans 5 et supposons que l'exirémilé inférieure de la barre s'appuie sur le plan auquel se rapportent les quantités a et R.
La barre est perpendiculaire à l'intersection des deux plans, et l'on a
sina' , «in^^
sin(a-f-«') ' sin(a + a')
sin (a' — a ) tancfS = — r : — .'
2 sin a sina
16. U7ie tige pesante et homogène AEB appuie son extrémité inférieure A contre un plan vertical, repose en E sur un point fixe ^ et porte un poids Q à son extrémité supérieure. Déterminer la position d'' équilibre.
Soient P le poids de la tige, a sa longueur, b la distance du point fixe au plan vertical, et x la longueur AE de la partie de la tige qui est située entre le point fixe et le plan vertical.
La tige est dans un plan perpendiculaire au plan vertical dont il s'aglt, et l'on a
FoNTANA, Meinorie délia Società ilaliana ; 1802, p. 63o.
Si Ton suppose P=o, alors a:- = (rt^^)% quelle que soit la grandeur du poids Q.
Euler (*) a discuté ce problème comme application du principe de Maupertuis, nommé loi du repos.
(*) Académie des Sciences de Berlin, t. Vil, p. 196; 1751.
17. JJn poids Q esL suspendu à V extrémité B d'une tige ADB, dont Vautre extrémité A est engagée dans Fj.T q une charnière fixe. Cette tige
est sans poids ^ elle est soutenue par un fil perpendiculaire, attaché en son point milieu D.
Déterminer la grandeur et la direction de la pression supportée par la charnière., lorsque la tige fait un angle de 3o degrés avec V horizon.
Soient 2rt la longueur de la lige, X la composante horizontale de la pression supportée par la charnière, Y la composante verticale, Rla pression résultante et cp l'angle que cette pression fait avec Thoiizon.
On trouve
18. Une harre pesante AB peut tourner librement autour de son extrémité A, qui est fixe, tandis que Vautre extrémité B est soutenue par un cordon qui s'engage sur une poulie fixe, et porte un poids Q. Déterminer la position d 'équilibre.
On connaît le poids P de la barre, les distances a et b de son centre de gravité aux extrémités A et B, les distances l et A de la poulie à Thorizontale et à la verticale menées par l'extrémité fixe A.
Les angles Q et cp, cpie la barre et le cordon forment sur l'horizon, nous sont donnés parles équations
Q (a + è)sin((j> — 9) = Pa cos9, (« + è) sin (tp — 0) = /• siny — / coso),
dont la résolulion est facile.
19. Une harre pesante et homogène appuie Vune de ses extrémités sur un plan incliné^ tandis que Vautre extréndté est soutenue par un fil attaché en un point
Jixe, lequel est situé au-dessus du plan incliné. Déterminer la position d'équilibre^ la tension du fil et la pression sur le plan.
Soient a l'inclinaison du plan sur l'horizon, 2a la longueur de la barre, P son poids, 6 son inclinaison sur le plan, E. la pression qu'elle exerce sur le plan, T la tension du fil, c sa longueur, © son inclinaison sur le plan, h la distance du plan au point fixe où le fil est attaché.
Les angles 0 et cr) sont déterminés par les deux équations
2 sin(ç • — 9) sina = cos'j) co5(9 H- a),
c sinq/ H- 2« sin6 = />;
€t l'on a
cosfa + (Si] sina
COSçp COSiJ»
20. Une barre pesante et homogène appuie Vune de ses extréndiés contre un plan vertical.^ tandis que V autre extrémité est soutenue par un fd attaché en un point
fixe du même plan vertical. Déterminer la position d'équilibre, la pression contre le plan et la tension dufil.
Conservons la notation du problème précédent, en supposant que l'angle a soit égal à 90 degrés. Il vient
sinS
21 . Dans rintérieur d'une sphère creuse on place ujie lame pesante et homogène, dont la forme est celle d'un triangle isocèle ^ les trois sommets s'appuient contre la surface de la sphère. Déterminer la position d' cquilihre.
Soient 7' le rayon de la sphère, a la longueur des côtés égaux dans le triangle, h la hauteur du triangle et 0 l'angle que son plan forme avec l'horizon.
On trouve
taneS
3 \ll^r'-h' — a'
22. Une tige pesante et homogène s^ appuie sur le hord d'un hémisphère concave, et son extrémité inférieure repose sur la surface interne. On suppose que le bord de riiémisphère est horizontal., et que la longueur de la tige est supérieure au diamètre. Déterminer la position d'équilibre.
Soient r le rayon de l'hémisplière, a. a la. longueur de la tige et 6 l'angle qu'elle forme avec l'horizon.
L'angle 0 est déterminé par l'équation du second degré
4/'Cos-0 — a ces 9 — nr = o.
23. Un poids Q est suspendu sur le bord d'une demisphère homogène, qui repose par sa surface conuexe sur un plan horizontal. Déterminer la position d^ équilibre.
Soient P le poids de la demi-splière, c la distance de son centre de gravité au centre de la sphère, et Q l'angle de son axe avec la verticale.
On trouve
Or tang9=-.
24. Une lame homogène, quia la forme d' un triangle rectangle isocèle, est située dans un plan vertical^ et
STATIQUE. p3
s'appiiie par ses côtés égaux sur deux chevilles fixes. Déterminer la position cV équiUhre,
Soient h la hauteur du triangle, 0 l'inclinaison de sa base sur l'horizon et a la distance des deux chevilles. On obtient les deux solutions
h 6 =: o, ô = arc ces 7^- •
25. Une lame circulaire et. homogè/ie repose par son centre sur une tige "verticale. Placer sur la circonférence trois poids p^ , p^ , p^ , de manière que la lame reste horizontale.
Soient {pi,p^)^ [pitPz]! {p-iTPi) ïes angles au centre sous-tendus par les arcs qui séparent les poids p^ et p^^, Pietp^, p^ etpi.
On trouve
COS{pi,p2) = —
COS{p-2,p3) = —
COS(/>3,j5,) = —
26. Ujie plaque triangulaire , homogène et partout d'égale épaisseur, est suspendue à un point Jixe par trois fils attachés aux sommets du triangle. Démontrer que, si la plaque est horizontale, on a, entre les longueurs des fils a^ (3, y et les côtés a, h, c respectii^ement opposés aux points d^ attache, les relations
-hp;-
ip,p3
Pi
MECANIQUE RATIOJVNELLE.
SECTION II
ÉQUILIBRE AVEC FROTTEMENT
Fig. 10.
i . Une barre pesante et homogène AB repose par
Vune de ses extrémités A sur un plan horizontal et dépoli KL 5 r autre extréjnité B est soutenue par un Jîl qui passe sans frottement sur une poulie E et supporte un poids Q. Déterminer la suite des positions d'équilibre.
Soient 2« la longueur de la barre, P son poids, 0 son inclinaison à l'horizon, R la pression normale que le plan exerce sur l'extrémité A, F le frottement exercé sur la même extrémité dans la direction LK, [x le coefficient de frottement relatif au plan et à la barre, et q l'inclinaison du fil BE sur l'horizon.
Projetons les forces qui sollicitent la barre d'abord sur une horizontale, puis sur une verticale^ et prenons leurs moments par rapporta l'extrémité A. Il vient
F = Q COS15), R H- Q sinijj = P,
(A) Pcose = 2Qsin(ffl — 9).
Posons
F =; R tangs,
tang £ sera une quantité comprise entre o et j; -, alors la première équation pourra s'écrire
R tangs = Q cosçp,
et, si l'on élimine Pi. à l'aide de la seconde équation, on trouve
(B) P sin£= Qcos(cp — s).
Cette relation, jointe à la formule (A), nous détermine les angles cp et 0 qui correspondent à une valeur donnée de £- On aura toutes les positions d'équilibre en donnant à £ toutes les valeurs comprises entre o et arc tangua. Pour la valeur particulière e = o, l'équation (B) donne
o = -; et, d'après l'équation (A), on a 9 = -y quel c[ue soit le poids Q, pourvu qu'il soit inférieur à celui de la barre. Dans le cas où l'on aurait Q =:= -P, l'angle 0 pourrait être quelconque.
2. Une barre pesante ACB, appuyée sur un ètni DC, est soutenue par uneJor,:e Q qui agit à rextréniiié K. pj jj dans une direction donnée. Dé-
terminer la position de la barre, lorsqu'elle est sur le point de glisser dans le sens AB malgré la force de frottement qui s'exerce
au point d'appui.
Soient P le poids de la barre^ G son centre de gravité, a la distance AG, x la distance GC, B l'inclinaison de la barre sur l'horizon, © l'inclinaison de la force, Rla pression normale de l'étai sur la barre, et u. le coefficient de frottement.
Projetons les forces qui sollicitent la barre sur l'horizontale, sur la verticale, puis prenons leurs moments relatifs au point C, en supposant c[ue la barre soit sur le point de glisser. Il vient
Q coscp := RsinS -H pE. ces 9, Qsins + RcosQ = P H-pPvsin9, (A) Pxcos0 = Q(« H-a:)sin(ç — 9).
Éliminons R entre les deux premières équations, et pour
g6 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
résoudre plus comniodémeut réquation finale par rapport à 9, posons y. = tange^ nous trouvons
tanirQ
Qcos(s — (p) — Psine
Q sin( £ — tp) H- P coss L'équalion (A) nous fera connaître la dislance x.
3. Une planclie rectangulaire et homogène CDEF, située dans un plan 'vertical , repose par Vun de ses côtés CF sur un plan dépoli AB, dotït l'inclinaison à l'horizon croit graduellement. Dans quelle position du plan la planche commenccra-t-elle à glisser., ou à tomber en tournant autour de son sommet C?
Fig. 12. Soient P le poids de la planche,
a le côté CF, b le côté CD, R la pression normale que la planclie éprouve de la part du plan, a l'inclinaison du plan et ^ le coefficient de frottement.
Lorsque le corps est sur le point de glisser, on a
: P sina, Pcosa;
par conséquent,
tanga, a =1 arc tangp..
Telle est l'inclinaison du plan lorsque le corps commence à glisser.
Observons cependant que le corps pourra perdre son équilibre sans glisser. En effet, soient G le centre de gravité du corps et GH une perpendiculaire abaissée sur le côté CF. Si le co'efficient [i est assez considérable pour que la droite CG devienne verticale avant que l'angle a ait atteint la valeur arctangp., à cet instant le corps tournera
STATIQUE. gy
autour du sommet C, et perdra son équilibre avant de glisser. Lorsque la ligne CG est verticale, a est égal à
l'angle CGH, d'ailleurs tangCGH=: j\ par conséquent, le corps commencera par tourner si 1 on a ij.j;> —•, et il commencera par glisser si l'on a \j.<^-j'
4. Une tige pesante AB peut se mou\^oir en tous sens et sans frottement autour de son extrémité A comme pivot ^ son autre extrémité B s'appuie sur un plan vertical et dépoli. Déterminer la position de la tige lorsqu'elle est sur le point de perdre son équilibre.
ï^'S- '3. Soient P le poids de la barre, a. son
inclinaison sur la perpendiculaire au plan, R la pression normale que la barre éprouve de la part du plan, et fz le coefficient de frottement.
Le lieu du point B sur le plan vertical est un cercle qui a pour centre la projection O de l'extrémité fixe A. Nommons 0 l'inclinaison du rayon OB sur l'horizon, et observons que le frottement s'exerce suivant la tangente au cercle.
Si nous considérons les moments des forces par rapport à un axe vertical passant par l'extrémité fixe A, nous obtenons la relation
Or
donc
R.OBcosS = y.Rsin9.0A.
OB = OA tanga;
tangacosO = lAsinG, tang9 = - tanga.
ô. Une tige pesante appuie ses extrémités Vune sur un plan horizontal, Vautre sur un plan vertical, et est
