I. 2^ ÊDIT. n
g8 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
■perpendiculaire à V intersection des deux plans. Déterminer la position de la tige, lorsqu elle est sur le point de perdre son équilibre.
Soient p. et ^/ les coefficienls de frottement relatifs au plan horizontal et au plan vertical, a et b les distances du centre de gravité de la tige à l'extrémité inférieure et à l'extrémité supérieure, 6 l'inclinaison de la tige sur l'horizon.
On trouve
d — jjLfi' b
tango
6. ZTjie barre pesante et homogène appuie ses extrémités sur les deux faces d'un angle dièdre dont V arête est horizontale. Déterndner la plus grande inclinaison à l'horizon que la barre puisse admettre sans glisser, et trouver les relations qui existent entre le poids de la barre et les pressioris normales qu^elle éprouve, lorsqu elle est sur le point de glisser.
Soient a et a' les angles que les faces du dièdre font avec l'horizon de part et d'autre de l'arête commune, tangX et tang^' les coefficienls de frottement relatifs à ces deux faces, R et R' les pressions normales que la barre éprouve de la part des mêmes plans, P le poids de la barre et B sa plus grande inclinaison.
La barre doit être perpendiculaire à l'arête du dièdre, et l'on trouve
cos>.sin(a' — )/) cos)i'sin(a — \) s\n[a-\-a' — X — À') 2tang9 ^ cet (a — 1) ■ — cot(a' — V).
7. Une tige homogène repose par son milieu sur un cylindre horizontal dont les génératrices lui sont perpendiculaires. Quel est le plus grand poids que l on
STATIQUE. gg
puisse suspendre à r extrémité de la tige sajis la faire glisser sur le cylindre?
Soient P le poids de la tige, 2<2 sa longueur, /' le rayon du cylindre, tangX le coefficient de frottement, et Q le poids cherché.
On trouve
Q r\ V ~' a — ri '
8. Une harre pesante et homogène appuie V une de ses extrénùtés contre un plan vertical, tandis que l'autre extrémité est soutenue par un fil attaché en un point du plan. Déterminer la position de la barre lorsqu elle est sur le point de glisser.
Soient a la longueur de la barre, P son poids, R la pression normale qu'elle éprouve de la part du plan, 6 l'angle qu'elle forme avec la verticale, l la longueur du fil, cp son inclinaison sur la verticale, et ^ le coefficient de frottement.
Les angles <p et 0 sont déterminés par les équations
{4«^ — 4^^ — P-'^O tang'-(p ZjZ 2p,/^ tang'f H- 4*^^ — /- = o,
sin9 = — smcp.
Le signe supérieur correspond au glissement de bas en haut", le signe inférieur, au glissement de haut en bas.
9. If/i cylindre elliptique, dont V axe est horizontal^ appuie sa surface convexe sur deuxjplans, l'un vertical et poli, l'autre horizontal et dépoli Le corps est sur le point de glisser, lorsque le grand axe de V ellipse de hase fait un angle de ^^\degrés avec Vhorizon. Quel est le coefficient de frottement sur le plan horizontal?
lOO MÉCANIQUE PiATIOIV WELLE. , '
Soit e l'excentricité de l'ellipse de base. ■ Le coefficient de frottement est ésral à - e~.
10. Une demi-sphère homogène peut rouler sur un plan horizontal ^ mais le Jrottement V empêche de glisser. Quel est le moment du couple nécessaire pour tenir le corps en équilibre, lorsque la hase est inclinée de 3o degrés à V horizon.
Soient P le poids de la demi-sphère, et /' le rayon.
Le moment clierché est égal à — r Vr.
ib
SECTION m.
POUSSÉE DES TEKRES.
Imaginons un plan mené dans l'intérieur d'un massif de terre en équilibre. Les forces qui agissent sur l'une des faces de cette section et maintiennent l'équilibre sont la pression normale, la force tangentielle nommée //"ofitement statique, et une seconde force tangentielle nommée cohésion, qui, d'après Coulomb, est proportionnelle à la surface de contact et indépendante de la pression, lorsque l'équilibre est sur le point d'être rompu ('*').
1. Un massif, dont la surface supérieure est un plan horizontal BX, se termine latéralement par un talus BA, de hauteur donnée. On demande de déterminer le plus petit angle que le talus puisse faire avec la 'verticale sans quil j ait éboulement.
Fig. 14.
C*) Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris; 1773.
STATIQUE. lOl
Soient :
AC = h la hauteur du massif:
a. l'angle BAC que le talus fait avec la verticale 5
p le poids d'un volume de terre égal à l'unité;
/y. le coefficient de frottement statique;
V la force de cohésion pour l'unité de surface, lorsqtie le glissement est sur le point de naître.
On admet dans cette théorie que la rupture tend à se faire suivant un plan. Nous allons d'abord déterminer le plan sur lequel la rupture est le plus à craindre, en supposant l'angle a. assez grand pour qu'il y ait équilibre, mais d'ailleurs quelconque; puis nous déterminerons l'angle a. par la condition que la rupture soit sur le point de s'opérer dans le plan trouvé.
En vertu de la symétrie, le plan de rupture doit être perpendiculaire au plan de la figure. Admettons d'abord c|u'il coupe le talus à la base.
Soient AX ce plan, (3 l'angle qu'il fait avec la verticale, et P le poids du prisme ABX. Nous supposerons que l'épaisseur de ce prisme dans le sens perpendiculaire au plan de la figure soit égale à l'unité ; le calcul n'en sera pas moins général.
Les forces qui agissent sur le prisme ABX dans la direction XA, lorsc[ue le glissement est sur le point de naître, ont une somme représentée par la formule
Pcosp — piPsinp — vÂX,
ou bien, en remplaçant P et AX par leurs valeurs,
-ph-' (tangp — tanga) (cosp — ^sinp) — ^•
La condition d'équilibre est que cette somme soit nulle ou négative. Plus celte somme s'approche de o, plus ou doit craindre une rupture sur le plan AX.
I02 MÉCANIQtJE RATIONNELLE.
Or, quand h augmente, la partie positive de cette somme augmenle plus rapidement que la partie négative, car la première partie contient li^ en facteur, tandis que la seconde contient seulement h à l'un de ses termes 5 donc, toutes choses égales, la rupture sur le plan AX est d'autant plus à craindre que la hauteur verticale du prisme qu'il sépare est plus grande. Ainsi, c'est avec raison que nous avons placé l'intersection du plan et du taliis atissi bas que possible.
Pour déterminer l'angle /3, posons
tantrB = j:, — -=z<7, ^^ ' ph '
et
(jc— tanga)(i — [kx) — a[\ -h x'') =z f(^x).
La condition d'équibre sera
et l'angle cherché |3 sera celui pour lequel le premier membre de cette inégalité devient un maximum. Sa tangente, X, vérifiera l'équation dérivée
{l -[- x"^)/' ix) — Jt:/(.r)=:0.
Ceci posé, on pourra tirer la valeur de x de cette dernière équation, la leporter dans la relation précédente où le second membre sera pris égal à o ; alors on aura une équation propre à déterminer l'angle a qui fait l'objet du problème. Mais on arrivera plus simplement au même résultat en éliminant x entre les équations
f[x) = o et /'(x) = o.
On trouve ainsi une équation qui, résolue par rapport à tanga, donne la valeur
tanga = \ :\a — \ja (« + p) (i + |^'')]>
io3
OU
taniza
,ï-v/iC^>0'-"^''}
Cet angle a dépend de la hauteur h.
A mesure que la hauteur augmente, tangœ s'approche
de la limite -i crui conviendrait à toute hauteur, si la co-
hésion était nulle, comme cela a lieu sensiblement dans les terres fraîchement remuées.
La plus grande iiauteur h' sur laquelle le massif puisse se soutenir à pic est celle qui rend nulle la valeur (i) de tanga. On trouve
Les formules (i) et (2) peuvent servir à déterminer les coefficients f;i et v pour un terrain donné. Deux expériences faites, l'une dans le cas de la formule (i), l'autre dans le cas de la formule (2), suffisent théoriquement à cette détermination.
Navier, Leçons de Mécanique a V École des Ponts et Chaussées ; n'^ édit., sect, 11, art. i.
2. Un massif terminé par un plan horizontal BX FJg- i5- peut se soutenir à pic sur
une hauteur BD = h'. On demande de déterminer le profil courhe DA que le terrain doit avoir audessous du point D, pour être à la limite de stabilité en tout point de ce profil.
Soient pris BD pour axe des z, le prolongement de XB pour axe des j-. Nommons z, j les coordonnées d'un
lo4 MÉCANIQUE RATIOKJVELLE.
point quelconque A de la courbe cherchée-, par ce point menons une droite AE tellement inclinée, que le triangle AEX soit équivalent à la figure ADBX. Soient yi la distance du point E à la verticale du point A, et a l'angle de AE sur la verticale. Conservons pour le reste la notalion du problème précédent.
Le terrain terminé au talus fictif AE doit être à la limite de stabilité. Si donc on observe que yj = z tanga et que z est la hauteur du talus, on aura, d'après le problème précédent.
D'ailleurs l'égalité des surfaces AEX, ADBX donne
— = / zdr.
Différentiant ces deux équations et éléminant y], d-/]^ on trouve l'équation différentielle de la courbe cherchée,
dy
ay I 2v /-
dz p ^'pz ^ j . / i^pz F-'P^
L'intégrale s'obtient immédiatement,
lipz
Z 6vv/i+^' / , vp^
^ ^- log -^ ■ ■^ ' ' H- const.,
la constante étant telle, que j^ s'annule pour z = h' .
dy
io5
Si, dans l'expression àe -—■, on remplace z par la valeur de h' qui a été donnée au problème précédent, on trouve que la courbe AD coupe la verticale BD au point D sous un angle dont la tangente est
i + ^^-fxj.
3. Soit un massif ABCDEF..., soutenu par un mur AB, et dont le projîl est un poîjgone quelconque, mais constant sur toute la longueur. On suppose, dans ce massif, un prisme ABCDEX prêt à glisser sur le plaît fixe AX en faisant reculer le mur. Il s^ agit de déterndner le plan AX par la condition de rendre un maximum la résultante des forces que le prisme séparé exerce sur le mur de rei^êtement. On néglige la cohésion des terres entre elles et avec la paroi du mur.
Fig. i6.
Le plan AX déterminé par cette condition est nommé d'après Coulomb plan de rupture, parce qu'on admet que la rupture commencera sur ce plan, si la réaction du mur vient à n'être plus suflisante pour maintenir l'équilibre.
Io6" MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Soient p le poids des terres sous Tunité de volume 5
tangcj) et tangcp' les coefficients de frottement des terres sur elles-mêmes et sur la paroi du mur;
a l'angle que la paroi du mur fait sur le plan horizontal AH du côté du massif;
P le poids du prisme;
R et S les résultantes des réactions du mur et du plan de rupture sur le prisme;
j3 l'angle que le plan de rupture fait sur le plan horizontal AH du côlé du massif.
Les forces P, R, S, transportées en un même poinl^ doivent se faire équilibre; on a donc
R sin(P, S) ^ sin (R, S)
Si l'on observe cjue tp' et ip sont les inclinaisons des forces R et S sur les normales au mur et au plan de rupture, on reconnait aisément que l'angle (P, S) est égal à
71 — /3 -{- !p et l'angle (R, S) à tt — • (a — |3) — çp — Q)'. Par
suite,
/ X ir. X. sin (6 — o)
^ ^ sin (a — p + ij) +(p')
Il nous faut exprimer le poids P à l'aide d'un élément géométrique qui fixe la position du plan AX; alors la question sera réduite à déterminer le maximum cVune fonction d'une seule variable.
Pour ce calcul il suffira évidemment de considérer une longueur du prisme égale à l'unité; en outre il faudra supposer c[ue l'on connaisse le côté du profil polygonal qui est coupé par le plan de rupture.
Soient EF ce côté;
w sou inclinaison à l'horizon, qui sera positive si la
STATIQUE. lOy
droite EF s'élève en s'éloignaiil du mur du côté du massif;
k la dislance du point A au côté EF5
Al une droite tellement inclinée, que le triangle formé par cette droite, le côté EF et la droite AX, soit équivalent au pol^'gone ABCDEX (celte droite AI est connue) -,
1 l'angle que la droite AI fait avec l'iiorizontale AH du côté du massif.
Première solution. — On prend pour inconnue la quantité lang(j3 — o).
L'expression de l'aire du triangle AIX, en fonction de la hauteur et des trois angles, donne d'abord
/i' sin (> — S)
2 sin ()i — w)sin([i — w)
Si l'on substitue cette valeur dans l'équation (i), que l'on remplace ensuite sin (A — (3), sin ([3 — w), sin (a — j3+cy+^') par les expressions équivalentes
sin [\ — (p) cos(P — (p) — sin (p — ip) ces ("/ — 'p), sin (p — y) cos(« — w) + sin ((p — w) cos (p — y), sin (a + !p')cos(p — cp) — sin (p — tp) cos (a H- ©'),
et que l'on pose, pour abréger,
h'^ cos {\ ■ — 10)
1 sin (). — w) cos (ai — &)) cos (a + (p' j tang()v — (p) = f7, tang ((p — m) ■=: h , tang ( a H- ©' ) = c, tang(p — ffl) r= x, il vient ,
La valeur de x qui rend celle pression un maximum
lo8 MÉCANIQUE KATIOKKELLE.
vérifie l'équation
.„, ^R . fa-\-b]xla; — c) — c{x — a](:r:-\-b)
(5) -— ou A ^^ — -, ~— — ^^ '— ' z= o.
^ ' dx {^x -\- by- {x — cf
On en tire
b X [a -\- b) x[a -h b — c) — b x(a -\- b — c) — bc
b(a-hb]
—•y b[a-hb^
Pour obtenir la valeur de la dérivée seconde — — qui
dx^ ^
répond à la double valeur de a:, il suffit de remplacer
dans l'expression (3) le numérateur par sa dérivée, puis
de substituer la double valeur en question *, on trouve ainsi
d'R ix{a-\-b — c] — 2Ô
dx-" {x -\n bY[x — cY
[x + by{x — cy y b[a + b}'
La valeur correspondante de R s'obtient de suite, en observant que l'équation (3) peut s'écrire, d'après la formule (2),
et que d'ailleurs on a identiquement
R ne pouvant être négatif, il s'ensuit que le facteur Ac (a+ b) est positif. Divisant par ce facteur la valeur
de la denvee -— - obtenue précédemment, on voit que
cette dérivée a le signe de la quantité
Si donc on nomme K la valeur numérique de cette dernière quantité, la formule
[b ^ cY ^ '
■' 2 sin'(a — w + I}) + »') ^ '
représentera la pression maximum quand on prendra le signe inférieur, et la pression nTinimuin quand on prendra le signe supérieur.
Les valeurs correspondantes de x sont
(i zhK) tangfa + <p')
tang(a-f-f ) ^^
lang(Y — w) et l'on a
__ /sin (a — X + (p H- y' ) sin ( cp — w ) y sin(X — m) sin (a + (j)')
Le minimum ne répond pas au problème actuel ; mais, si l'on change les signes des angles ç et cj»' dans les formules relatives au minimum, elles donneront la solution du pro-
IIO MÉCANIQUE RATIONNELLE.
blême correspondant à celui qui nous occupe, pour le cas où le mur tendrait à s'avancer dans l'intérieur du massif en soulevant un prisme de terre.
Observons encore que, dans les deux cas, si l'on s'était trompé sur le clioix du côté EF coupé par le prisme, les formules en avertiraient, et l'on aurait à recommencer le calcul en choisissant un ai;tre côté. Au reste, un peu d'attention suffira d'ordinaire pour éviter ces tâtonnements fâcheux.
Comme application, supposons que la surface supérieure du terrain soit un plan horizontal, et que l'on puisse négliger le frottement des terres contre le parement du mur. Alors on aura 00 = 0, A = a, (p'r=o, et l'on trouvera facilement la pression maximum
sui a .
sin'
ainsi que l'inclinaison du plan de rupture.
Deuxième solul.ion. — Joignons le point A au côté EF par deux droites AM, AN, situées de part et d'autre de la droite AB, et formant avec elle les angles a — cp, cp -f- c^'. Entre les droites MN, AN, menons des droites IF, XX' parallèles à AM. L'inconnue sera la position du point X'.
(*) M. Saint-Guilheni, auquel nous empruntons cette solution {Journal de M. Liouvillf, t. IX, p. i; i8/|4), l'étend au cas où l'on tient compte de la cohésion des terres entre elles et avec la paroi du mur. Mais, comme l'objet de ce calcul est de déterminer l'épaisseur qu'il faut donner au mur pour qu'il ne soit point repoussé, il est plus sûr de ne pas supposer une cohésion qui peut être anéantie par un ébranlement fortuit.
La Géométrie nous donne les relations
V = -p/ilX,
sin(p — ^)
