FUNICULAIRE

1. Plusieurs tiges rigides et sans poids sont réunies bout à bout par des charnières , de manière à former un polygone plan à angles 'variables. Chaque tige est sollicitée par une force proportionjielle à sa longueur, appliquée en son point milieu, et qui est dirigée suivant la perpendiculaire menée dans le plan de la figure. Quelle est la forme du polygone lorsque le système est en équilibrée .^

Fuss, Mémoires de Saint-Pétersbourg, 1817-1818, p. 46.

Soient A, B, C, D, 'etc., les sommets du polygone; Fig. 20. p, q, r, etc., les réactions mutuelles

qui ont lieu entre les côtés qui aboutissent aux sommets A, B, C, etc.; Aa, aB(3, iSCy les droites suivant lesquelles sont dirigées ces i^éactions; P, Q, R, etc., les forces appliquées aux côtés AB, BC, CD, etc.

La tige BC étant en équilibre sous Faction de la force Q et des réactions \ /"^R q el r dirigées suivant Bj3 et CjS, il \\A s'ensuit que ces trois forces se ren-

\ \\ contrent en un même point, que le

V' triangle Bj3C est isocèle, et que les

réactions q et r sont égales.

De plus, la réaction ^, estimée en sens contraire de la force Q, est égale à la moitié de cette dernière force, c'està-dire que l'on a

de même.

et, par suite,

^sinCBp = -Q;

p sin AB a = — P .

sinCBp BC

sinAEa BA Dans le triangle ABC on a pareillement sinCAB BC

smACB BA'

d'ailleurs,

CBp4- ABa = CAB4- ACB;

par conséquent,

CBp = CAB et ABar=ACB.

Faisons passer une circonférence par les points A, B, C. D'après la relation que nous venons de trouver, elle est tangente à la droite aj3. Puisque les triangles AaB et B/3C sont isocèles, elle est aussi tangente aux droites Ko. et j3C. Celte même circonférence passe par les autres sommets du polygone et est tangente aux droites suivant lesquelles s'exerce la pression à ces sommets 5 car si nous faisons passer une circonférence par les sommets B, C, D, elle aura avec la première circonférence deux tangentes communes aux deux mêmes points B, C , et par conséquent se confondra avec elle.

D'après cela, quand l'équilibre a lieu, le polygone est inscripiibîe, les pressions mutuelles des liges aux articulations sont dirigées suivant les tangentes au cercle circonscrit, elles sont égales entre elles; le rapport de la

force Q appliquée au côté BC, à la pression q qui s'exerce entre deux tiges, est égal à 2 sinCAB, est égal au rapport du côté BC au rayon du cercle circonscrit.

2. Un quadrilatère ABCD est formé par quatre tiges F'ig- 21. rigides et sans poids, qui peuvent

tourner librement autour des sommets comme charnières ; deux Jils, AC, BD, dont on connaît les tensions T, S, joignent les sommets '•B opposés. On demande la condition géométrique que le quadnlatère doit vérifier pour que V équilibre ait lieu,

EuLER, Acta Acad. Petrop., 1779; part. 11, p. 106.

Soient O l'intersection des deux diagonales, et N la réaction mutuelle qui a lieu entre les points A, D par l'intermédiaire de la tige.

Prenons autour du sommet B les moments des forces qui sollicitent la tige AB. Il vient

N.BDsin(ADBj = T.BOsin(BOC).

On aura de même, pour le sommet C et la tige CD,

N.ACsin(CAD) = S.COsin(BOC),

T.BO BD.sin(ADB)BD.sin(ADO) BD.AO ^•^^ AC.sin(CAD) AC.sin(DAO) ^^'^^ ï BD.AO. GO