S AC.DO.BO

Cette condition est nécessaire pour l'équilibre; de plus, elle est suffisante, car si les côtés AB et DC ne tournent

STATIQtJE. 127

pas autour des sommets A et G, le quadrilatère ne se déforme point.

3. JJn quadrilatère ABCD est formé par quatre tiges rigides et sans poids^ qui peuvent tourner librement autour des sommets comme charnières -^ les tiges contiguës sont réunies deux à deux par des fds aa.^ Z'/S, cy, d^^ dont on connaît les tensions A, B, C, D. Quelle est la condition géométrique que le quadrilatère doit vérifier pour être en équilibre ?

La force A, qui est appliquée au point a, peut se décomposer en deux forces parallèles : l'une appliquée en A et l'autre B' appliquée en B. Cette dernière est égale à

— Afl

âb'

Elle peut à son tour se décomposer, d'après la loi du parallélogramme, en deux forces : l'une dirigée suivant BA et appliquée en A, l'autre B" dirigée suivant la diagonale BD. Cette dernière est égale à

sin Aaa

sinABD Or les triangles Kacc et ABD nous donnent

sînAflfa A a

sinA

smA

BD

sinABD AD

Il s'ensuit

^„ - A(3. Aa.BD

AB.aa.AD

Décomposons de la même manière la force A, qui est appliquée au point a, en deux forces appliquées en A et une force D" appliquée en D, dirigée suivant DB.

La somme des moments des deux forces A égales et contraires appliquées aux points a et a, étant nulle par rapport à tout point de l'espace , il en résulte que les composantes B" etD" sont égales et contraires ('*'), et que les quatre composantes appliquées au point A se font équilibre.

On voit donc que nous pouvons remplacer le fil ace par un fil dirigé suivant la diagonale BJ), et dont la tension sera

— Aa.A«.BD

aa.DA.BA

Nous remplacerons pareillement le fil cy par un fil dirigé suivant la même diagonale BD, et dont la tension sera

-C7.Cc.DB c7.BC.DG*

Les deux fils aca, cy se trouvent alors remplacés par uii seul fil dirigé suivant la diagonale BD, et dont la tension est égale à la somme

— Aa.Afl.BD -C7.CC DB

aa.DA.BA c-7.BC.DC

Aux deux fils ^|3,(^cJ, nous substituons de même un seul fil dirigé suivant la diagonale AC, et dont la tension est égale à la somme

-BS.Bô.CA — D^.Dff.AC ôp.AB.CB ^(Î.CD.AD

(*) On reconnaît, en effet, que la valeur de B" ne change pas par la permutation de B en D et de a en «.

Nous rentrons ainsi dans le problème précédent, et, d'après ce problème, la relation cherchée est

OB.OD /B.Bp.B^- D.BS.Bd