FIL SOLLICITÉ PAR. DES FORCES PARALLÈLES
1 . Un fil flexible et pesant est attaché par ses extrémités en deux points fixes j la masse m rapportée à r unité de longueur varie d'un point à un autre, suivant une loi donnée. Trouver V équation de la courbe formée par le fil. Réciproquement, la courbe étant donnée, déterminer la loi suivant laquelle varie la masse.
Le fil sera tout entier situé dans un plan vertical.
Prenons l'axe des x horizontal, et l'axe des y vertical dirigé de bas en haut 5 conservons pour le reste la notation employée dans la section précédente.
et les équations (a) se réduisent aux suivantes :
d I dx\
ds \ ds j
. . d ( dy
(^) ds\!~ds
La première équation donne
(2) f-|- = const. = C.
ds
Or, au point le plus bas de la courbe, on a — - = i ; par conséquent, si l'on nomme t la tension du fil en ce point,
l4o MÉCANIQUE RATIONNELLE.
et l'équation (a) devient
Éliminons t entre cette dernière formule et Téquation (i); nous obtenons
ds
dy
ds \dx
Au point le plus bas de la courbe, -~- = o-^ par conséquent, si l'on nomme a la valeur de s correspondante à ce point, on aura
Telle est l'équation différentielle de la courbe. Pour l'intégrer, il faut connaître l'expression de ni en a:, y, s. Diflerentions cette dernière formule*, il vient
Cette équation fera connaître la masse ni^ lorsqu'on aura l'équation de la courbe.
La tension est
ds
t=zr
dx
Jean Bernoulli, Lecdones malhematicœ , lect. 38, 39, 4oj Opéra, t. III.
2. Un Jîl flexible et pesant est attaché par ses extrémités en deux points fixes; la niasse rapportée à Vunité
STATTQUE. l4ï
de longueur est en chaque point im'erseinent proportionnelle à la racine carrée de l'arc qui sépare ce point du point le plus has. Déterminer la courbe formée par le fil.
Conservons la notation du problème précédent, et comptons les arcs à partir du point le plus bas, lequel sera pris pour origine des coordonnées.
Soit//, la masse correspondante à Textrémité de Tare c. On a
=.Yr
dx
--gi>.sjc
g IL \/ es
sons,
pour
abrég<
\jC 1
Alo
rs
dififérentiant,
d. (dy-y __ ds I dy'
^ Ibc \7h:l "~ ^ ~ V ' "^ ^^'
idyV
\d-r-l „ , , / dy^
Ù=L= = \, d'où 2Sl/n-^=x
d. (dyy dx
dy
' + /■ dx
C est une constante que l'on détermine par la condition que l'on ait à la fois
dy X = o et -^ r= o.
dx
l42 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Il vient
dx"-
OU
1^ dy = \{x -\- '2.^'f — [^fY dx , et par intégration,
C H- 2 pjr == - ( J^ + 2 p) \lx-- H-4pj;
— 2l3Mog[x+ 2p + (^' + 4P^)^J.
On détermine la constante C par la condition que la courbe passe à l'origine 5 cela donne
C'=:-2pM0g(2p),
d'où
Q.^y = -(,r;+2p)Vj;' + 4,8^— a^Mog ^ ^ =t^ •
Telle est l'équation de la courbe.
Corollaire. — L'équation (1) donne
(-/.y a; + 2 j3 dx 2 p
par conséquent la tension a pour valeur
ds r ,
dx 2 p
Jean Bernoulli, Lect. maîhem.; Opéra, t. IIî, p. 497*
3. Un fil flexible , dont les extrémités sont fixées sur une même ligne horizontale, prend Informe dhine demicirconférence ^ sous r infiuence de la gray^ité. Déterminer la loi suivant laquelle la masse du fil j^apporlée à V unité de longueur varie d\in point à un autre.
Conservons la notation du problème précédent, et soit a le rayon de la circonférence.
L'équation de cette courbe est
-lay —
On en tire
dy
d'-y :' dx'
dx
ds
dx
Jn^ —
et, d'après le problème I, équation (4),
d-y T dx^
g ds g a^ — x"^ g(^a — y- y
dx
Ainsi la masse varie en raison inverse du carré de la distance au diamètre horizontal.
Corollaire. — La tension est
ds ra ra
t=ZT
dx ^a- — xr- « — J Jean Bernoulli, Opéra, \. III, p. 5o2.
4. Un fil homogène, d^épaisseur constante^ est attaché par ses extrémités en deux points situés sur une même ligne horizontale ; la tension aux deux extrémités est égale au poids de tout le fil. Déterminer la longueur dufilt la distance verticale des deux extrémités au point le plus bas de la courbe décrite^ et la direction des tangentes extrêmes.
Prenons l'axe des y vertical^ à égale distance des deux points d'attache, et l'origine à une telle hauteur, que la tension, au point le plus bas de la courbe, soit mesurée par le poids d'une longueur de fil égale à l'ordonnée de ce
l44 MÉCANIQUE RATIONNELLE.
point. Soient m la masse du fil rapportée à l'unité de longueur, ia la distance des extrémités, c l'ordonnée du point le plus bas, d la distance verticale de ce point à la droite qui joint les deux extrémités, l la longueur du fil, et cf l'inclinaison des tangentes extrêmes sur l'axe des x. L'équation de la courbe est, comme l'on sait,
On en tire
l z=zc \e ■ — c
Il nous faut éliminer l'inconnue c de cette expression. Au point {oc,j) la tension est
rngy r= —mcg \ e" -\- e
A l'extrémité, cette valeur devient
— mes \ e~ -\- e
Or, par hypothèse, cette tension doit être égale à mgl-^ donc
) = mcg[t
mcg \ e~ -+- e " l =^ mcg \ e" — e ~ I j
et, par suite,
e'^ =3, - = - loiî3, * c -2. ^ '
iog3 \ y ysiogs
Telle est la longueur du (il.
L'ordonnée des points d'attache est
Cette ordonnée est aussi représentée par c -h d-^ donc 1/7 "~~ \ 2«2 — v'S
2 \ y iog3 y/3
Telle est la distance du point le plus bas à la droite cjui joint les extrémités.
On a généralement
^(r Me
dx 2 \ à l'extrén^ité du fil,
dx *^ - \
d'où
5, Un fil homogène, cV épaisseur constante, repose en équilibre sur deux chevilles très-minces, situées à la même hauteur^ et qui n exercent aucun frottement. On connaît la distance 2. a des deux supports, et Von demande la moindre longueur du fil qui puisse permettre r équilibre^ on propose encore de déterminer, pour une longueur donnée du fil, la courbe qiUil affecte, et la pression P quil exerce sur chacun des deux supports.
Nommons L la longueur totale du fil, T sa tension aux points d'appui, et conservons pour le reste la notation du problème précédent ; / sera la longueur du fil courbé en chaînette.
